Um produto fabricado por injeção de plástico é analisado em dois níveis de percentual de talco. Os dados seguintes apresentam os resultados da dureza (HRC), segundo o percentual de talco utilizado.
NÍVEL <br> PERCENTUAL <br> DE TALCO TAMANHO DA <br> AMOSTRA MÉDIA DESVIO <br> PADRÃO
Baixo 8 64,75 9,96
Alto 8 66,39 8,08
Os dados mostram evidência suficiente para afirmar que a dureza média do produto fabricado no nível baixo de percentual de talco é menor do que a dureza média de alto percentual de talco, ao nível de significância de 5 % ? Supor normalidade dos dados e variâncias populacionais diferentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um cenário onde queremos comparar a dureza média de um produto fabricado com dois níveis diferentes de percentual de talco: baixo e alto. A matéria envolvida aqui é teste de hipóteses para duas médias, mais especificamente o teste t de Student para amostras independentes com variâncias diferentes.
Para resolver isso, vamos precisar:
  • As médias das duas amostras.
  • Os desvios padrão de cada amostra.
  • O tamanho de cada amostra.
  • O nível de significância, que é 5% neste caso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que queremos testar. Como queremos verificar se a dureza média do nível baixo de talco é menor que a do nível alto, temos:
  • Hipótese Nula (H₀): A média da dureza no nível baixo é igual ou maior que no nível alto.
    H0: mubaixo >= mua
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média da dureza no nível baixo é menor que no nível alto.
    H1: mubaixo < mua

Passo 3

Agora, vamos calcular a estatística de teste. Como temos duas amostras independentes com variâncias diferentes, usamos o teste t de Welch. A fórmula para o t é:
t = barXbaixo - barXa
Onde:
  • são as médias das amostras.
  • são as variâncias das amostras.
  • são os tamanhos das amostras.

Passo 4

Primeiro, vamos identificar os valores:
  • Média baixo ( ) = 64,75
  • Desvio padrão baixo ( ) = 9,96
  • Tamanho da amostra baixo ( ) = 8
  • Média alto ( ) = 66,39
  • Desvio padrão alto ( ) = 8,08
  • Tamanho da amostra alto ( ) = 8

Passo 5

Calculando as variâncias:
S^2baixo = 9,96^2 = 99,2016
S^2a

Passo 6

Substituindo na fórmula do t:
t = 64,75 - 66,39raiz99,20168 + 65,28648
Calculando o denominador:
raiz99,20168 + 65,28648 = raiz12,4002 + 8,1608 = raiz20,561 approx 4,534
Então,
t = -1,644,534 approx -0,361

Passo 7

Agora, precisamos encontrar os graus de liberdade para o teste de Welch, que são calculados pela fórmula:
Substituindo os valores:
df = ( S^2baixonbaixo + S^2a
Arredondando, temos df = (12,4002 + 8,1608)^212,4002^27 + 8,1608^27 = 20,561^2153,6197 + 66,58897 = 422,616220,20797 approx 422,61631,457 approx 13,45 .

Passo 8

Agora, consultamos a tabela t de Student para encontrar o valor crítico para um teste unilateral com nível de significância de 5% ( ) e . O valor crítico í é aproximadamente -1,771 (o sinal negativo porque estamos verificando se a média baixo é menor que a alta).

Passo 9

Comparamos o nosso valor calculado de t com o valor crítico:
  • í
Como , não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidência suficiente para afirmar que a dureza média no nível baixo de talco é menor que no nível alto ao nível de significância de 5%.

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