Um produto fabricado por injeção de plástico é analisado em dois níveis de percentual de talco. Os dados seguintes apresentam os resultados da dureza (HRC), segundo o percentual de talco utilizado.
NÍVEL <br> PERCENTUAL <br> DE TALCO | TAMANHO DA <br> AMOSTRA | MÉDIA | DESVIO <br> PADRÃO |
---|---|---|---|
Baixo | 8 | 64,75 | 9,96 |
Alto | 8 | 66,39 | 8,08 |
Os dados mostram evidência suficiente para afirmar que a dureza média do produto fabricado no nível baixo de percentual de talco é menor do que a dureza média de alto percentual de talco, ao nível de significância de
? Supor normalidade dos dados e variâncias populacionais diferentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um cenário onde queremos comparar a dureza média de um produto fabricado com dois níveis diferentes de percentual de talco: baixo e alto. A matéria envolvida aqui é teste de hipóteses para duas médias, mais especificamente o teste t de Student para amostras independentes com variâncias diferentes.
Para resolver isso, vamos precisar:
- As médias das duas amostras.
- Os desvios padrão de cada amostra.
- O tamanho de cada amostra.
- O nível de significância, que é 5% neste caso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que queremos testar. Como queremos verificar se a dureza média do nível baixo de talco é menor que a do nível alto, temos:
-
Hipótese Nula (H₀): A média da dureza no nível baixo é igual ou maior que no nível alto.
-
Hipótese Alternativa (H₁): A média da dureza no nível baixo é menor que no nível alto.
Passo 3
Agora, vamos calcular a estatística de teste. Como temos duas amostras independentes com variâncias diferentes, usamos o teste t de Welch. A fórmula para o t é:
Onde:
-
são as médias das amostras. -
são as variâncias das amostras. -
são os tamanhos das amostras.
Passo 4
Primeiro, vamos identificar os valores:
-
Média baixo (
) = 64,75 -
Desvio padrão baixo (
) = 9,96 -
Tamanho da amostra baixo (
) = 8 -
Média alto (
) = 66,39 -
Desvio padrão alto (
) = 8,08 -
Tamanho da amostra alto (
) = 8
Passo 5
Calculando as variâncias:
Passo 6
Substituindo na fórmula do t:
Calculando o denominador:
Então,
Passo 7
Agora, precisamos encontrar os graus de liberdade para o teste de Welch, que são calculados pela fórmula:
Substituindo os valores:
Arredondando, temos
.
Passo 8
Agora, consultamos a tabela t de Student para encontrar o valor crítico para um teste unilateral com nível de significância de 5% (
) e
. O valor crítico
é aproximadamente -1,771 (o sinal negativo porque estamos verificando se a média baixo é menor que a alta).
Passo 9
Comparamos o nosso valor calculado de t com o valor crítico:
Como
, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Não há evidência suficiente para afirmar que a dureza média no nível baixo de talco é menor que no nível alto ao nível de significância de 5%.
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© .
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(a)
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©
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