0 diâmetro médio de um caramujo, examinada uma amostra de 35 animais, foi de
com desvio padrão de
(b) Que tamanho de amostra será necessário para produzir um intervalo de confiança de
para a verdadeira média, com uma precisão de
da média amostral?
(b) Que tamanho de amostra será necessário para produzir um intervalo de confiança de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma média do diâmetro de caramujo de 0,871 mm, com um desvio padrão de 0,057 mm, baseado numa amostra de 35 animais. O que queremos descobrir é qual o tamanho de amostra necessário para ter um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira média, com uma precisão de 2% da média amostral. Vamos usar conceitos de estatística inferencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá um intervalo no qual esperamos que a verdadeira média da população esteja, com um certo nível de confiança, que nesse caso é 95%. A precisão de 2% da média amostral significa que a margem de erro do nosso intervalo de confiança deve ser 2% da média, ou seja, 0,02 × 0,871 mm.
Passo 3
A fórmula para calcular a margem de erro (E) em um intervalo de confiança é:
Onde:
- $ E $ é a margem de erro,
- $ z $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança,
- $ \sigma $ é o desvio padrão da população,
- $ n $ é o tamanho da amostra.
Nosso objetivo é encontrar $ n $ tal que $ E = 0,02 \times 0,871 $.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a margem de erro desejada:
Agora, vamos encontrar o valor de $ z $ para um intervalo de confiança de 95%. Esse valor é aproximadamente 1,96.
Passo 5
Rearranjando a fórmula para encontrar $ n $:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos fazer as contas passo a passo:
Primeiro, calcula-se o numerador:
Em seguida, divide-se pelo erro $ E $:
Agora, elevamos esse resultado ao quadrado:
Passo 7
Como o tamanho da amostra não pode ser um número fracionário, arredondamos para o próximo número inteiro. Portanto, precisamos de uma amostra de 42 caramujos para atingir a precisão desejada.
Resposta
Será necessário uma amostra de 42 caramujos para produzir o intervalo de confiança de 95% com uma precisão de 2% da média amostral.