Os pesos de pacotes de sementes de milho, enchidos automaticamente por uma máquina, apresentam desvio padrão igual a 200 gramas. Qual o tamanho da amostra necessário coletar para garantir um erro amostral de no máximo 0,05 kg com 95% de confiança, na estimação do verdadeiro peso médio?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema sobre os pesos dos pacotes de sementes de milho que são enchidos por uma máquina. O desvio padrão desses pesos é de 200 gramas. Queremos descobrir quantos pacotes precisamos pesar para ter certeza, com 95% de confiança, que a média verdadeira está errada no máximo em 0,05 kg (ou seja, 50 gramas). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Estatística, especificamente sobre estimativa de tamanho de amostra para médias.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa “erro amostral” e “nível de confiança”. O erro amostral (E) é a margem de erro que estamos dispostos a aceitar na nossa estimativa da média verdadeira. No caso, E = 0,05 kg = 50 g. O nível de confiança (95%) nos diz o quão confiantes estamos de que a média da nossa amostra está dentro desse erro amostral da média verdadeira.

Passo 3

Para calcular o tamanho da amostra necessário (n), usamos a fórmula:
n = ( Z times sigmaE )^2
Onde:
  • $ Z $ é o valor z correspondente ao nível de confiança desejado.
  • $ \sigma $ é o desvio padrão da população.
  • $ E $ é a margem de erro.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar o valor de $ Z $ para um nível de confiança de 95%. Esse valor é geralmente encontrado em tabelas de distribuição normal padrão e é aproximadamente 1,96.
Z ç

Passo 5

Sabemos que o desvio padrão $ \sigma $ é 200 gramas e a margem de erro $ E $ é 50 gramas. Vamos substituir esses valores na fórmula:
sigma

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses primeiro:
1,96 times 20050 = 39250 = 7,84
Então, temos:
n = (7,84)^2

Passo 7

Calculando o quadrado de 7,84:
n = 61,47
Como o tamanho da amostra precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima.

Passo 8

Portanto, o tamanho da amostra necessário é de 62 pacotes.

Resposta

Precisamos coletar uma amostra de 62 pacotes para garantir que o erro amostral seja de no máximo 0,05 kg com 95% de confiança.

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