Um estudo do departamento de transportes sobre a velocidade ao volante e o consumo de combustível de automóveis de tamanho médio resultou nos seguintes dados.
Calcule e interprete a covariância amostral.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um estudo que analisa a velocidade ao volante e o consumo de combustível de carros de tamanho médio. O que queremos é calcular a covariância amostral para entender como essas duas variáveis estão relacionadas. Vamos precisar usar conceitos de estatística, especificamente sobre covariância, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é covariância. A covariância mede como duas variáveis variam juntas. Se elas tendem a aumentar e diminuir ao mesmo tempo, a covariância é positiva. Se uma tende a aumentar enquanto a outra diminui, a covariância é negativa. Se não houver relação linear, a covariância fica próxima de zero.

Passo 3

A fórmula da covariância amostral é a seguinte:
sxy = 1n-1 sumi=1^n (xi - x)(yi - y)
Onde:
  • $ s_{xy} $ é a covariância amostral entre as variáveis $ x $ e $ y $.
  • $ n $ é o número de observações na amostra.
  • $ x_i $ e $ y_i $ são os valores individuais das variáveis.
  • $ \overline{x} $ e $ \overline{y} $ são as médias das variáveis $ x $ e $ y $, respectivamente.

Passo 4

Agora, vamos calcular as médias das duas variáveis:
  • Calcular $ \overline{x} $ (média das velocidades).
  • Calcular $ \overline{y} $ (média do consumo de combustível).

Passo 5

Depois, para cada par de dados $ (x_i, y_i) $, vamos calcular:
  • A diferença entre $ x_i $ e $ \overline{x} $: $ (x_i - \overline{x}) $.
  • A diferença entre $ y_i $ e $ \overline{y} $: $ (y_i - \overline{y}) $.
  • Multiplicar essas diferenças: $ (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y}) $.

Passo 6

Somamos todos os resultados das multiplicações feitas no passo anterior:
sumi=1^n (xi - x)(yi - y)

Passo 7

Finalmente, dividimos essa soma por $ n - 1 $ para obter a covariância amostral:
n - 1

Resposta

A covariância amostral calculada é $ s_{xy} $. Se $ s_{xy} $ for positivo, isso indica que, em geral, quando a velocidade aumenta, o consumo de combustível também aumenta. Se for negativo, quando a velocidade aumenta, o consumo de combustível diminui. Se for próximo de zero, não há uma relação linear significativa entre as duas variáveis.

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