Um estudo do departamento de transportes sobre a velocidade ao volante e o consumo de combustível de automóveis de tamanho médio resultou nos seguintes dados.
Calcule e interprete a covariância amostral.
Calcule e interprete a covariância amostral.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um estudo que analisa a velocidade ao volante e o consumo de combustível de carros de tamanho médio. O que queremos é calcular a covariância amostral para entender como essas duas variáveis estão relacionadas. Vamos precisar usar conceitos de estatística, especificamente sobre covariância, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é covariância. A covariância mede como duas variáveis variam juntas. Se elas tendem a aumentar e diminuir ao mesmo tempo, a covariância é positiva. Se uma tende a aumentar enquanto a outra diminui, a covariância é negativa. Se não houver relação linear, a covariância fica próxima de zero.
Passo 3
A fórmula da covariância amostral é a seguinte:
Onde:
- $ s_{xy} $ é a covariância amostral entre as variáveis $ x $ e $ y $.
- $ n $ é o número de observações na amostra.
- $ x_i $ e $ y_i $ são os valores individuais das variáveis.
- $ \overline{x} $ e $ \overline{y} $ são as médias das variáveis $ x $ e $ y $, respectivamente.
Passo 4
Agora, vamos calcular as médias das duas variáveis:
- Calcular $ \overline{x} $ (média das velocidades).
- Calcular $ \overline{y} $ (média do consumo de combustível).
Passo 5
Depois, para cada par de dados $ (x_i, y_i) $, vamos calcular:
- A diferença entre $ x_i $ e $ \overline{x} $: $ (x_i - \overline{x}) $.
- A diferença entre $ y_i $ e $ \overline{y} $: $ (y_i - \overline{y}) $.
- Multiplicar essas diferenças: $ (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y}) $.
Passo 6
Somamos todos os resultados das multiplicações feitas no passo anterior:
Passo 7
Finalmente, dividimos essa soma por $ n - 1 $ para obter a covariância amostral:
Resposta
A covariância amostral calculada é $ s_{xy} $. Se $ s_{xy} $ for positivo, isso indica que, em geral, quando a velocidade aumenta, o consumo de combustível também aumenta. Se for negativo, quando a velocidade aumenta, o consumo de combustível diminui. Se for próximo de zero, não há uma relação linear significativa entre as duas variáveis.