O diâmetro de uma peça metálica segue uma distribuição Normal com média de 10 cm e desvio padrão de 0,5 cm em uma amostra de 25 peças. Construa um intervalo de confiança de 95 % para o diâmetro médio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde o diâmetro de uma peça metálica segue uma distribuição Normal com média de 10 cm e desvio padrão de . Temos uma amostra de 25 peças e precisamos construir um intervalo de confiança de 95% para o diâmetro médio. A gente vai usar Estatística, mais especificamente o conceito de intervalo de confiança para a média.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores na qual acreditamos que a média verdadeira da população está, com um certo grau de confiança (nesse caso, 95%).

Passo 3

Como a distribuição é Normal e conhecemos o desvio padrão da população ( Intervalo de Confiança = barx pm Zalpha2 ( sigmaraizn ) ), podemos usar a fórmula do intervalo de confiança para a média, que é:
ç
Aqui:
  • é a média da amostra.
  • é o valor crítico da distribuição Normal para o nível de confiança desejado.
  • é o desvio padrão da população.
  • é o tamanho da amostra.

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular a média da amostra ( ). Como não nos foi dado um valor específico, vamos assumir que a média da amostra é igual à média populacional ( ) para simplificar.
Então, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor de para um nível de confiança de 95%. Para 95%, , então .
Consultando uma tabela Z ou usando uma calculadora, encontramos que .

Passo 6

Vamos calcular o erro padrão da média, que é Erro Padrão = 0,5raiz25 = 0,55 = 0,1 , cm :
ã

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula do intervalo de confiança:
Intervalo de Confiança = 10 pm 1,96 times 0,1 ç
Intervalo de Confiança = 10 pm 0,196 ç

Passo 8

Calculando os limites inferior e superior:
10 - 0,196 = 9,804 , cm
10 + 0,196 = 10,196 , cm

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para o diâmetro médio é entre 9,804 cm e 10,196 cm.

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