Um processo de fabricação de peças metálicas tem um peso médio histórico de 500 gramas. Uma amostra de 20 peças revelou um peso médio de 510 gramas, com desvio padrão de 8 gramas. Teste, ao nível de significância de 5 %, se houve um aumento significativo no peso médio.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A gente tem um processo de fabricação de peças metálicas que, historicamente, tem um peso médio de 500 gramas. Agora, a gente pegou uma amostra de 20 peças e descobriu que o peso médio dessa amostra é de 510 gramas, com um desvio padrão de 8 gramas. A pergunta é: Será que esse aumento no peso médio é realmente significativo? Para descobrir isso, vamos usar o teste de hipótese, que faz parte da estatística inferencial. Vamos precisar entender conceitos como média amostral, desvio padrão, nível de significância e o teste t.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que vamos testar. No teste de hipótese, temos duas hipóteses:
  • Hipótese nula (H₀): Não houve aumento significativo no peso médio. Ou seja, o peso médio continua sendo 500 gramas.
    H₀: mu = 500
  • Hipótese alternativa (H₁): Houve um aumento significativo no peso médio. Ou seja, o peso médio passou a ser maior que 500 gramas.
    H₁: mu > 500

Passo 3

O próximo passo é escolher o nível de significância, que é a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira. Nesse caso, o nível de significância é de 5% ou 0,05.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor do teste. Como o tamanho da amostra é pequeno (n = 20) e desconhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student. A fórmula para o t é:
t = barx - mus / raizn
Onde:
  • t = 510 - 5008 / raiz20 = 108 / 4,4721 = 101,789 approx 5,597 é a média amostral (510 gramas)
  • é a média populacional sob H₀ (500 gramas)
  • é o desvio padrão amostral (8 gramas)
  • é o tamanho da amostra (20)
Vamos substituir os valores na fórmula:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição t para o nosso nível de significância e graus de liberdade. Os graus de liberdade (df) são:
df = n - 1 = 20 - 1 = 19
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, para um teste unilateral com e , o valor crítico de t é aproximadamente 1,729.

Passo 6

Comparamos o nosso valor do teste (t ≈ 5,597) com o valor crítico (1,729):
5,597 > 1,729
Como o valor do teste é maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, houve um aumento significativo no peso médio das peças metálicas ao nível de significância de 5%.

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