Um processo de fabricação de peças metálicas tem um peso médio histórico de 500 gramas. Uma amostra de 20 peças revelou um peso médio de 510 gramas, com desvio padrão de 8 gramas. Teste, ao nível de significância de
, se houve um aumento significativo no peso médio.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A gente tem um processo de fabricação de peças metálicas que, historicamente, tem um peso médio de 500 gramas. Agora, a gente pegou uma amostra de 20 peças e descobriu que o peso médio dessa amostra é de 510 gramas, com um desvio padrão de 8 gramas. A pergunta é: Será que esse aumento no peso médio é realmente significativo? Para descobrir isso, vamos usar o teste de hipótese, que faz parte da estatística inferencial. Vamos precisar entender conceitos como média amostral, desvio padrão, nível de significância e o teste t.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que vamos testar. No teste de hipótese, temos duas hipóteses:
-
Hipótese nula (H₀): Não houve aumento significativo no peso médio. Ou seja, o peso médio continua sendo 500 gramas.
-
Hipótese alternativa (H₁): Houve um aumento significativo no peso médio. Ou seja, o peso médio passou a ser maior que 500 gramas.
Passo 3
O próximo passo é escolher o nível de significância, que é a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira. Nesse caso, o nível de significância é de 5% ou 0,05.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor do teste. Como o tamanho da amostra é pequeno (n = 20) e desconhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student. A fórmula para o t é:
Onde:
-
é a média amostral (510 gramas) -
é a média populacional sob H₀ (500 gramas) -
é o desvio padrão amostral (8 gramas) -
é o tamanho da amostra (20)
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição t para o nosso nível de significância e graus de liberdade. Os graus de liberdade (df) são:
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, para um teste unilateral com
e
, o valor crítico de t é aproximadamente 1,729.
Passo 6
Comparamos o nosso valor do teste (t ≈ 5,597) com o valor crítico (1,729):
Como o valor do teste é maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base nos cálculos, houve um aumento significativo no peso médio das peças metálicas ao nível de significância de 5%.