O teor de carbono de uma liga metálica foi medido em 40 amostras, resultando em uma média de
e um desvio padrão de
. Construa um intervalo de confiança de
para o teor médio de carbono.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística, mais especificamente sobre intervalo de confiança. O enunciado diz que medimos o teor de carbono em 40 amostras de uma liga metálica, obtendo uma média de 1,2% e um desvio padrão de 0,05%. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança de 90% para o teor médio de carbono dessa liga. Para isso, vamos precisar entender a média, o desvio padrão, o tamanho da amostra e usar a fórmula do intervalo de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que acreditamos que contenha o verdadeiro valor da média da população, com um certo nível de confiança, que nesse caso é de 90%.
Passo 3
Como temos uma amostra grande (n = 40), podemos usar a distribuição normal para calcular o intervalo de confiança. A fórmula que vamos usar é:
Onde:
-
é a média da amostra (1,2%), -
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado, -
é o desvio padrão da amostra (0,05%), -
é o tamanho da amostra (40).
Passo 4
Vamos encontrar o valor crítico
para um intervalo de confiança de 90%. Para isso, sabemos que a distribuição normal é simétrica, então precisamos encontrar o valor que deixa 5% de cada lado (totalizando 10%) nas extremidades. Olhando na tabela z, o valor que corresponde a 95% da distribuição (já que 100% - 5% = 95%) é aproximadamente 1,645.
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão, que é
. Substituindo os valores:
Passo 6
Com o erro padrão calculado, multiplicamos pelo valor crítico
:
Passo 7
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média da amostra:
Resposta
O intervalo de confiança de 90% para o teor médio de carbono é aproximadamente entre 1,187% e 1,213%.