O teor de carbono de uma liga metálica foi medido em 40 amostras, resultando em uma média de e um desvio padrão de . Construa um intervalo de confiança de para o teor médio de carbono.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística, mais especificamente sobre intervalo de confiança. O enunciado diz que medimos o teor de carbono em 40 amostras de uma liga metálica, obtendo uma média de 1,2% e um desvio padrão de 0,05%. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança de 90% para o teor médio de carbono dessa liga. Para isso, vamos precisar entender a média, o desvio padrão, o tamanho da amostra e usar a fórmula do intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que acreditamos que contenha o verdadeiro valor da média da população, com um certo nível de confiança, que nesse caso é de 90%.

Passo 3

Como temos uma amostra grande (n = 40), podemos usar a distribuição normal para calcular o intervalo de confiança. A fórmula que vamos usar é:
ç
Onde:
  • é a média da amostra (1,2%),
  • é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado,
  • é o desvio padrão da amostra (0,05%),
  • é o tamanho da amostra (40).

Passo 4

Vamos encontrar o valor crítico para um intervalo de confiança de 90%. Para isso, sabemos que a distribuição normal é simétrica, então precisamos encontrar o valor que deixa 5% de cada lado (totalizando 10%) nas extremidades. Olhando na tabela z, o valor que corresponde a 95% da distribuição (já que 100% - 5% = 95%) é aproximadamente 1,645.

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão, que é . Substituindo os valores:

Passo 6

Com o erro padrão calculado, multiplicamos pelo valor crítico :

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média da amostra:

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para o teor médio de carbono é aproximadamente entre 1,187% e 1,213%.

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