O teor de carbono de uma liga metálica foi medido em 40 amostras, resultando em uma média de 1,2 % e um desvio padrão de 0,05 %. Construa um intervalo de confiança de 90 % para o teor médio de carbono.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística, mais especificamente sobre intervalo de confiança. O enunciado diz que medimos o teor de carbono em 40 amostras de uma liga metálica, obtendo uma média de 1,2% e um desvio padrão de 0,05%. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança de 90% para o teor médio de carbono dessa liga. Para isso, vamos precisar entender a média, o desvio padrão, o tamanho da amostra e usar a fórmula do intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que acreditamos que contenha o verdadeiro valor da média da população, com um certo nível de confiança, que nesse caso é de 90%.

Passo 3

Como temos uma amostra grande (n = 40), podemos usar a distribuição normal para calcular o intervalo de confiança. A fórmula que vamos usar é:
Intervalo de Confiança = barx pm z ( sigmaraizn ) ç
Onde:
  • barx é a média da amostra (1,2%),
  • z é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado,
  • sigma é o desvio padrão da amostra (0,05%),
  • n é o tamanho da amostra (40).

Passo 4

Vamos encontrar o valor crítico z para um intervalo de confiança de 90%. Para isso, sabemos que a distribuição normal é simétrica, então precisamos encontrar o valor que deixa 5% de cada lado (totalizando 10%) nas extremidades. Olhando na tabela z, o valor que corresponde a 95% da distribuição (já que 100% - 5% = 95%) é aproximadamente 1,645.

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão, que é sigmaraizn. Substituindo os valores:
0,05raiz40 approx 0,056,3246 approx 0,0079

Passo 6

Com o erro padrão calculado, multiplicamos pelo valor crítico z:
1,645 times 0,0079 approx 0,0130

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média da amostra:
1,2% pm 0,0130 Rightarrow [1,187%, 1,213%]

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para o teor médio de carbono é aproximadamente entre 1,187% e 1,213%.

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