O diâmetro X de rolamentos de esfera fabricados por certa indústria tem distribuição normal (μ=0,614;σ=0,002522). As esferas são boas se o diâmetro estiver dentro do intervalo (0,61; 0,618); recuperáveis se o diâmetro estiver dentro do intervalo (0,608; 0,61) ou (0,618; 0,62); e defeituosa se estiver dentro do intervalo (−∞;0,608)ou (0,620;+∞). Escolhendo-se uma esfera ao acaso, a probabilidade dela ser considerada recuperável é um valor entre?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o diâmetro dos rolamentos de esfera que segue uma distribuição normal com média (μ) de 0,614 e desvio padrão (σ) de 0,002522. Queremos descobrir qual a probabilidade de, ao escolhermos uma esfera aleatoriamente, ela ser considerada recuperável. Para isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e a tabela da distribuição acumulada (z).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os intervalos que definem uma esfera recuperável. Segundo o enunciado, uma esfera é recuperável se o diâmetro estiver entre 0,608 e 0,61 ou entre 0,618 e 0,62. Então, temos dois intervalos:
- 0,608 < X < 0,61
- 0,618 < X < 0,62
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de X estar em cada um desses intervalos. Para isso, vamos padronizar as variáveis usando a fórmula do z-score:
Isso nos ajuda a transformar o valor X em uma posição na distribuição normal padrão.
Passo 4
Vamos calcular o z-score para cada limite dos intervalos.
Para o intervalo 0,608 < X < 0,61:
-
Para X = 0,608:
-
Para X = 0,61:
Para o intervalo 0,618 < X < 0,62:
-
Para X = 0,618:
-
Para X = 0,62:
Passo 5
Com os valores de z calculados, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades acumuladas.
- Para z = -2,38: P(Z < -2,38) ≈ 0,0087
- Para z = -1,59: P(Z < -1,59) ≈ 0,0562
- Para z = 1,59: P(Z < 1,59) ≈ 0,9448
- Para z = 2,38: P(Z < 2,38) ≈ 0,9913
Passo 6
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada intervalo:
-
0,608 < X < 0,61:
-
0,618 < X < 0,62:
Passo 7
Por fim, somamos as probabilidades dos dois intervalos para obter a probabilidade total de uma esfera ser recuperável:
Resposta
A probabilidade de uma esfera escolhida ao acaso ser considerada recuperável está entre 9,4%.