O diâmetro X de rolamentos de esfera fabricados por certa indústria tem distribuição normal (μ=0,614;σ=0,002522). As esferas são boas se o diâmetro estiver dentro do intervalo (0,61; 0,618); recuperáveis se o diâmetro estiver dentro do intervalo (0,608; 0,61) ou (0,618; 0,62); e defeituosa se estiver dentro do intervalo (−∞;0,608)ou (0,620;+∞). Escolhendo-se uma esfera ao acaso, a probabilidade dela ser considerada recuperável é um valor entre?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o diâmetro dos rolamentos de esfera que segue uma distribuição normal com média (μ) de 0,614 e desvio padrão (σ) de 0,002522. Queremos descobrir qual a probabilidade de, ao escolhermos uma esfera aleatoriamente, ela ser considerada recuperável. Para isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e a tabela da distribuição acumulada (z).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os intervalos que definem uma esfera recuperável. Segundo o enunciado, uma esfera é recuperável se o diâmetro estiver entre 0,608 e 0,61 ou entre 0,618 e 0,62. Então, temos dois intervalos:
  1. 0,608 < X < 0,61
  2. 0,618 < X < 0,62

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de X estar em cada um desses intervalos. Para isso, vamos padronizar as variáveis usando a fórmula do z-score:
z = X - musigma
Isso nos ajuda a transformar o valor X em uma posição na distribuição normal padrão.

Passo 4

Vamos calcular o z-score para cada limite dos intervalos.
Para o intervalo 0,608 < X < 0,61:
  • Para X = 0,608:
    z = 0,608 - 0,6140,002522 approx -0,0060,002522 approx -2,38
  • Para X = 0,61:
    z = 0,61 - 0,6140,002522 approx -0,0040,002522 approx -1,59
Para o intervalo 0,618 < X < 0,62:
  • Para X = 0,618:
    z = 0,618 - 0,6140,002522 approx 0,0040,002522 approx 1,59
  • Para X = 0,62:
    z = 0,62 - 0,6140,002522 approx 0,0060,002522 approx 2,38

Passo 5

Com os valores de z calculados, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades acumuladas.
  • Para z = -2,38: P(Z < -2,38) ≈ 0,0087
  • Para z = -1,59: P(Z < -1,59) ≈ 0,0562
  • Para z = 1,59: P(Z < 1,59) ≈ 0,9448
  • Para z = 2,38: P(Z < 2,38) ≈ 0,9913

Passo 6

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada intervalo:
  1. 0,608 < X < 0,61:
    P = P(Z < -1,59) - P(Z < -2,38)
    P = 0,0562 - 0,0087 = 0,0475
  2. 0,618 < X < 0,62:
    P = P(Z < 2,38) - P(Z < 1,59)
    P = 0,9913 - 0,9448 = 0,0465

Passo 7

Por fim, somamos as probabilidades dos dois intervalos para obter a probabilidade total de uma esfera ser recuperável:
Ptotal = 0,0475 + 0,0465 = 0,094

Resposta

A probabilidade de uma esfera escolhida ao acaso ser considerada recuperável está entre 9,4%.

Exercícios relacionados