Uma empresa produz dois tipos de produtos, A e B, com lucro de R$ 10,00 e R$ 8,00 por unidade, respectivamente. Sabendo que a produção de A demanda 2 horas de trabalho e 1 hora de máquina, enquanto a produção de B demanda 1 hora de trabalho e 2 horas de máquina, e que a empresa tem disponíveis 100 horas de trabalho e 80 horas de máquina, qual a quantidade de cada produto que a empresa deve produzir para maximizar o lucro?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma empresa que fabrica dois produtos, A e B, e queremos descobrir quantas unidades de cada produto salvar para maximizar o lucro. Pra isso, vamos usar conceitos de otimização linear, que nos ajuda a encontrar a melhor solução dentro das limitações que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas variáveis:
- x: número de unidades do produto A que a empresa vai produzir.
- y: número de unidades do produto B que a empresa vai produzir.
Passo 3
Agora, vamos expressar o lucro total da empresa. Cada unidade de A traz um lucro de R$10,00 e cada unidade de B traz R$8,00. Então, a função lucro (L) é:
Passo 4
Vamos considerar as restrições de recursos:
- Horas de trabalho: Produzir uma unidade de A usa 2 horas e uma unidade de B usa 1 hora. A empresa tem 100 horas disponíveis.
- Horas de máquina: Produzir uma unidade de A usa 1 hora de máquina e uma unidade de B usa 2 horas. A empresa tem 80 horas de máquina disponíveis.
Passo 5
Também precisamos considerar que a quantidade de produtos não pode ser negativa:
Passo 6
Agora, vamos resolver esse sistema de inequações para encontrar os valores de x e y que maximizam o lucro. Podemos fazer isso encontrando os pontos de interseção das restrições e avaliando a função lucro nesses pontos.
Passo 7
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as restrições se cruzam:
- Interseção das restrições de trabalho e máquina:
Multiplicando a segunda equação por 2:
Subtraindo a primeira equação:
Substituindo y = 20 na primeira equação:
Então, o ponto de interseção é (40, 20).
Passo 8
Agora, vamos avaliar a função lucro nos pontos de interesse, que são:
- (0, 0)
- (0, 40) – quando x = 0
- (40, 20) – ponto de interseção
- (50, 0) – quando y = 0
Calculando o lucro em cada ponto:
- Em (0, 0):
- Em (0, 40):
- Em (40, 20):
- Em (50, 0):
Passo 9
Comparando os lucros:
- (0, 0): R$0
- (0, 40): R$320
- (40, 20): R$560
- (50, 0): R$500
O maior lucro é de R$560,00 no ponto (40, 20).
Resposta
A empresa deve produzir 40 unidades do produto A e 20 unidades do produto B para maximizar o lucro, que será de R$560,00.