Uma empresa produz dois tipos de produtos, A e B, com lucro de R$ 10,00 e R$ 8,00 por unidade, respectivamente. Sabendo que a produção de A demanda 2 horas de trabalho e 1 hora de máquina, enquanto a produção de B demanda 1 hora de trabalho e 2 horas de máquina, e que a empresa tem disponíveis 100 horas de trabalho e 80 horas de máquina, qual a quantidade de cada produto que a empresa deve produzir para maximizar o lucro?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma empresa que fabrica dois produtos, A e B, e queremos descobrir quantas unidades de cada produto salvar para maximizar o lucro. Pra isso, vamos usar conceitos de otimização linear, que nos ajuda a encontrar a melhor solução dentro das limitações que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis:
  • x: número de unidades do produto A que a empresa vai produzir.
  • y: número de unidades do produto B que a empresa vai produzir.

Passo 3

Agora, vamos expressar o lucro total da empresa. Cada unidade de A traz um lucro de R$10,00 e cada unidade de B traz R$8,00. Então, a função lucro (L) é:
10,00 e cada unidade de B traz R

Passo 4

Vamos considerar as restrições de recursos:
  • Horas de trabalho: Produzir uma unidade de A usa 2 horas e uma unidade de B usa 1 hora. A empresa tem 100 horas disponíveis.
2x + y <= 100
  • Horas de máquina: Produzir uma unidade de A usa 1 hora de máquina e uma unidade de B usa 2 horas. A empresa tem 80 horas de máquina disponíveis.
x + 2y <= 80

Passo 5

Também precisamos considerar que a quantidade de produtos não pode ser negativa:
x >= 0
y >= 0

Passo 6

Agora, vamos resolver esse sistema de inequações para encontrar os valores de x e y que maximizam o lucro. Podemos fazer isso encontrando os pontos de interseção das restrições e avaliando a função lucro nesses pontos.

Passo 7

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as restrições se cruzam:
  1. Interseção das restrições de trabalho e máquina:
2x + y = 100
x + 2y = 80
Multiplicando a segunda equação por 2:
2x + 4y = 160
Subtraindo a primeira equação:
(2x + 4y) - (2x + y) = 160 - 100
3y = 60
y = 20
Substituindo y = 20 na primeira equação:
2x + 20 = 100
2x = 80
x = 40
Então, o ponto de interseção é (40, 20).

Passo 8

Agora, vamos avaliar a função lucro nos pontos de interesse, que são:
  • (0, 0)
  • (0, 40) – quando x = 0
  • (40, 20) – ponto de interseção
  • (50, 0) – quando y = 0
Calculando o lucro em cada ponto:
  • Em (0, 0):
L = 10(0) + 8(0) = 0
  • Em (0, 40):
L = 10(0) + 8(40) = 320
  • Em (40, 20):
L = 10(40) + 8(20) = 400 + 160 = 560
  • Em (50, 0):
L = 10(50) + 8(0) = 500

Passo 9

Comparando os lucros:
  • (0, 0): R$0
  • (0, 40): R$320
  • (40, 20): R$560
  • (50, 0): R$500
O maior lucro é de R$560,00 no ponto (40, 20).

Resposta

A empresa deve produzir 40 unidades do produto A e 20 unidades do produto B para maximizar o lucro, que será de R$560,00.

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