A equação que fornece a altura, h, do líquido no tanque esférico para determinado volume e raio é dada por: f(h) = h3 - 9h2 3,8197 = 0 Use o método da bissecção para encontrar raízes de equações para encontrar a altura, h, que representa a altura em que essa vareta está molhada com óleo. Conduza três iterações para estimar a raiz da equação anterior. Dica: pela física do problema, a vareta estaria molhada entre o intervalo de h = 0 e h = diâmetro
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou trata de encontrar a altura $ h $ de um líquido em um tanque esférico usando a equação $ f(h) = h^3 - 9h^2 - 3.8197 = 0 $. A matéria que estamos lidando aqui é análise de raízes de equações, mais especificamente usando o método da bissecção. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o método da bissecção e aplicar isso para encontrar a altura $ h $ que resolve a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método da bissecção. É um método numérico usado para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é simples: escolhemos um intervalo
onde a função muda de sinal (ou seja, $ f(a) $ e $ f(b) $ têm sinais opostos), o que garante, pelo Teorema de Bolzano, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Então, dividimos esse intervalo ao meio e verificamos em qual metade a mudança de sinal ocorre, repetindo o processo até encontrar uma aproximação da raiz com a precisão desejada.
Passo 3
Vamos começar aplicando isso ao nosso problema. Primeiro, definimos a função:
Nos disseram que $ h $ está entre 0 e o diâmetro do tanque. Como um tanque esférico tem diâmetro $ D $ e raio $ R = \frac{D}{2} $, mas como não foi dado o diâmetro, vamos assumir que o intervalo inicial é
, por exemplo.
Vamos verificar os valores da função nos extremos do intervalo:
Hmm, ambos os valores são negativos. Isso significa que precisamos escolher um intervalo onde a função muda de sinal. Vamos tentar aumentar o valor de $ h $.
Vamos tentar $ h = 4 $:
Ainda negativo. Vamos tentar $ h = 5 $:
Ainda negativo. Parece que precisamos aumentar mais. Vamos tentar $ h = 6 $:
Ainda não mudou. Vamos tentar $ h = 10 $:
Agora, $ f(10) $ é positivo. Então, nosso intervalo inicial onde a função muda de sinal é
, já que $ f(5) = -103.8197 $ e $ f(10) = 96.1803 $.
Passo 4
Agora que temos nosso intervalo
onde a função muda de sinal, vamos começar as iterações do método da bissecção.
Primeira Iteração:
- Calculamos o ponto médio do intervalo:
- Avaliamos a função nesse ponto:
- Como $ f(7.5) $ é negativo e $ f(10) $ é positivo, a raiz está entre $ 7.5 $ e $ 10 $. Então, atualizamos o intervalo para
.
Segunda Iteração:
- Calculamos o novo ponto médio:
- Avaliamos a função:
- Como $ f(8.75) $ é negativo e $ f(10) $ é positivo, a raiz está entre $ 8.75 $ e $ 10 $. Atualizamos o intervalo para
.
Terceira Iteração:
- Calculamos o novo ponto médio:
- Avaliamos a função:
- Agora, $ f(9.375) $ é positivo e $ f(8.75) $ era negativo, então a raiz está entre $ 8.75 $ e $ 9.375 $. Atualizamos o intervalo para
.
Resposta
Após três iterações pelo método da bissecção, a altura $ h $ que representa a altura em que a vareta está molhada com óleo está aproximadamente entre 8,75 e 9,375 unidades de comprimento do tanque.