O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com f.d.p. dada por:
f(x)= k(2 x-x^2), & se 0 <= x <= 1 0, & para outros valores de x
© P(0 <= x <= 0,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar a probabilidade de que o diâmetro de um cabo elétrico esteja entre 0 e 0,5. Isso faz parte do estudo de variáveis aleatórias contínuas e funções de densidade de probabilidade (f.d.p). Para resolver, vamos precisar garantir que a função de densidade esteja normalizada (ou seja, que a integral dela de 0 a 1 seja igual a 1) e depois calcular a integral da f.d.p de 0 a 0,5.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a constante f(x) = k(2x - x^2), & se 0 <= x <= 1 0, & caso contrário que normaliza a função de densidade. A f.d.p é dada por:
integral0^1 k(2x - x^2) , dx = 1 á
Para que seja uma função de densidade válida, a integral de de 0 a 1 tem que ser 1:

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
integral0^1 (2x - x^2) , dx = [ x^2 - x^33 ]0^1 = (1 - 13) - (0 - 0) = 23
Então:
k cdot 23 = 1 implies k = 32

Passo 4

Agora que temos P(0 <= X <= 0,5) = integral0^0,5 32(2x - x^2) , dx , vamos calcular a probabilidade 32 [ x^2 - x^33 ]0^0,5 = 32 ( (0,5^2 - 0,5^33) - (0 - 0) ) = 32 (0,25 - 0,1253) :
= 32 (0,25 - 0,041666ldots ) = 32 times 0,208333ldots = 0,3125
Vamos integrar:

Resposta

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