Uma variável aleatória contínua possui a seguinte f.d.p.:
Faça o que se pede: Verifique se a função f(x) realmente é uma f.d.p.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função que foi dada, de fato, é uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.). Para isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma f.d.p. e aplicar isso à função que temos. Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as duas condições principais para uma função ser uma f.d.p.:
Não negatividade: A função deve ser maior ou igual a zero para todo valor de .
Integral igual a 1: A área total sob o gráfico de ao longo de todo o espaço deve ser igual a 1.
Vamos verificar essas duas condições para a função dada.
Passo 3
Verificando a não negatividade:
A função é definida por partes:
f(x)= 0, & se x < -1 ou x >= 43 12(1 - x^2), & se -1 <= x < 0 12, & se 0 <= x < 43
Vamos analisar cada parte:
Para ou : . Claro, zero é positivo.
Para :
Aqui, como é sempre positivo, também será positivo dentro do intervalo considerado (já que para ). Multiplicando por , continuamos com um valor positivo.
Para : , que é claramente positivo.
Portanto, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Verificando se a integral de integral-infty^infty f(x) , dx = integral-1^0 12(1 - x^2) dx + integral0^43 12 dx é igual a 1:
Vamos calcular a integral de integral-1^0 12(1 - x^2) dx = 12 integral-1^0 (1 - x^2) dx em todo o seu domínio: