Uma variável aleatória contínua possui a seguinte f.d.p.:
f(x)= 0, & se x<-1 ou x >= 43 12(1-x^2), & se -1 <= x<0 12, & se 0 <= x<43
Faça o que se pede: Verifique se a função f(x) realmente é uma f.d.p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função que foi dada, de fato, é uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.). Para isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma f.d.p. e aplicar isso à função que temos. Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as duas condições principais para uma função ser uma f.d.p.:
  1. Não negatividade: A função deve ser maior ou igual a zero para todo valor de .
  2. Integral igual a 1: A área total sob o gráfico de ao longo de todo o espaço deve ser igual a 1.
Vamos verificar essas duas condições para a função dada.

Passo 3

Verificando a não negatividade:
A função é definida por partes:
f(x)= 0, & se x < -1 ou x >= 43 12(1 - x^2), & se -1 <= x < 0 12, & se 0 <= x < 43
Vamos analisar cada parte:
  • Para ou : . Claro, zero é positivo.
  • Para :
    Aqui, como é sempre positivo, também será positivo dentro do intervalo considerado (já que para ). Multiplicando por , continuamos com um valor positivo.
  • Para : , que é claramente positivo.
Portanto, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Verificando se a integral de integral-infty^infty f(x) , dx = integral-1^0 12(1 - x^2) dx + integral0^43 12 dx é igual a 1:
Vamos calcular a integral de integral-1^0 12(1 - x^2) dx = 12 integral-1^0 (1 - x^2) dx em todo o seu domínio:
12 [ integral-1^0 1 , dx - integral-1^0 x^2 , dx ] = 12 [ (x) |-1^0 - ( x^33 ) |-1^0 ]
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
12 [ (0 - (-1)) - ( 0 - ( -13 ) ) ] = 12 [ 1 - ( 13 ) ] = 12 times 23 = 13
Integrando termo a termo:
integral0^43 12 dx = 12 [ x ]0^43 = 12 times ( 43 - 0 ) = 12 times 43 = 23
Calculando:
13 + 23 = 1
Segunda integral:
Somando as duas integrais:
Portanto, a segunda condição também está satisfeita.

Resposta

Sim, a função é uma função de densidade de probabilidade válida, pois ela é não negativa em todo o domínio e a integral total dela é igual a 1.

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