Uma carga q negativa está situada na posição (a,0,a) e outra carga também negativa e de mesmo valor q, está na posição (a, a, a).
Se q=5,00 n C, qual o vetor força resultante que atua sobre uma carga de teste q0=2,00 n C colocada na origem? Considere a=1,0 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos apresenta duas cargas negativas, cada uma com valor de , localizadas nos pontos e . Queremos descobrir qual é a força resultante que atua sobre uma carga de teste colocada na origem . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre duas cargas elétricas, e a soma vetorial para combinar as forças de cada carga na carga de teste.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que nos dá a força elétrica F = ke q1 q2r^2 r entre duas cargas:
onde:
  • é a constante eletrostática,
  • e são as magnitudes das cargas,
  • é a distância entre as cargas,
  • é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos determinar a posição das cargas e a carga de teste:
  • Carga 1 ( ):
  • Carga 2 ( ):
  • Carga de teste ( ):
Vamos calcular a força de cada carga negativa sobre .

Passo 4

Primeiro, calculamos a distância entre cada carga e a origem.
Para r1 = raiz(1,0)^2 + (0)^2 + (1,0)^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2 , m :
r2 = raiz(1,0)^2 + (1,0)^2 + (1,0)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 , m
Para :

Passo 5

Agora, vamos encontrar os vetores unitários r1 = (1,0, 0, 1,0) , m e r1 = r1r1 = ( 1,0raiz2, 0raiz2, 1,0raiz2 ) na direção das forças.
Para r2 = (1,0, 1,0, 1,0) , m :
r2 = r2r2 = ( 1,0raiz3, 1,0raiz3, 1,0raiz3 )
Para :

Passo 6

Aplicando a Lei de Coulomb para cada força:
Para F1 = ke q0 q1r1^2 r1 = 8,99 times 10^9 times (2,00 times 10^-9)(5,00 times 10^-9)2 ( 1raiz2, 0, 1raiz2 ) :
F1 = 8,99 times 10^9 times 10^-172 ( 1raiz2, 0, 1raiz2 )
Simplificando:
F1 = 4,495 times 10^-7 ( 1raiz2, 0, 1raiz2 ) , N
F2 = ke q0 q2r2^2 r2 = 8,99 times 10^9 times (2,00 times 10^-9)(5,00 times 10^-9)3 ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 )
Para F2 = 8,99 times 10^9 times 10^-173 ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 ) :
F2 = 2,997 times 10^-7 ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 ) , N
Simplificando:

Passo 7

Como as cargas são negativas, as forças que elas exercem sobre F1 = -4,495 times 10^-7 ( 1raiz2, 0, 1raiz2 ) , N apontam na direção oposta aos vetores F2 = -2,997 times 10^-7 ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 ) , N e . Portanto, vamos inverter os sinais das forças calculadas:

Passo 8

Agora, vamos somar vetorialmente Fresu e Fx = -4,495 times 10^-7 times 1raiz2 - 2,997 times 10^-7 times 1raiz3 para encontrar a força resultante Fy = 0 - 2,997 times 10^-7 times 1raiz3 :
Fz = -4,495 times 10^-7 times 1raiz2 - 2,997 times 10^-7 times 1raiz3
Calculando cada componente:
  • Componente x:
  • Componente y:
  • Componente z:

Passo 9

Vamos calcular os valores numéricos:
Primeiro, calcular os coeficientes:
1raiz2 approx 0,7071
1raiz3 approx 0,5774
Agora, substituindo:
  • Componente x:
Fx = -4,495 times 10^-7 times 0,7071 - 2,997 times 10^-7 times 0,5774 approx -3,180 times 10^-7 - 1,730 times 10^-7 = -4,910 times 10^-7 , N
  • Componente y:
Fy = -2,997 times 10^-7 times 0,5774 approx -1,730 times 10^-7 , N
  • Componente z:
Fz = -4,495 times 10^-7 times 0,7071 - 2,997 times 10^-7 times 0,5774 approx -4,910 times 10^-7 , N

Resposta

A força resultante que atua sobre a carga de teste Fresu na origem é:

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