Uma diferença de potencial de 140V é aplicada às extremidades de um fio cilíndrico, com 10 m de comprimento, estabelecendo no fio uma densidade de corrente de módulo 2,5 times 10^8 A / m^2. Determine se o fio é de cobre ( rhoC u=1,7 times 10^-8 Omega / m ), alumínio ( rhoA u=2,8 times 10^-8 Omega / m ) ou tungstênio ( rhoW=5,6 times 10^-8 Omega / m ). (Justifique)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletricidade! A gente tem um fio cilíndrico com 10 metros de comprimento e uma diferença de potencial de 140 volts aplicada nas suas extremidades. A densidade de corrente é de . A nossa missão é descobrir se o fio é feito de cobre, alumínio ou tungstênio, usando os valores de resistividade dados para cada material. Para isso, vamos precisar usar a relação entre resistência, resistividade, comprimento e área da seção transversal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da resistência elétrica de um fio:
R = rho LA
Onde:
  • J = IA é a resistência,
  • I = J times A é a resistividade do material,
  • é o comprimento do fio,
  • é a área da seção transversal.
Aqui, a gente não sabe a área diretamente, mas sabemos a densidade de corrente ( ) e a relação entre corrente ( ) e densidade de corrente:
Portanto, podemos reescrever a corrente como:

Passo 3

A diferença de potencial ( V = I times R ) está relacionada à corrente e à resistência pelo Ohm:
V = J times A times R
Substituindo V = J times A times ( rho LA ) por V = J times rho times L na equação da diferença de potencial:
Agora, substituindo pela primeira fórmula:
Simplificando, a área ( ) se cancela:

Passo 4

Agora, podemos reorganizar essa equação para resolver a resistividade ( rho = VJ times L ):
rho = 140 , V2,5 times 10^8 , A/m^2 times 10 , m
Vamos substituir os valores que temos:

Passo 5

Fazendo os cálculos:
rho = 1402,5 times 10^8 times 10 = 1402,5 times 10^9 = 5,6 times 10^-8 , Omega cdot m

Resposta

O valor da resistividade calculada é , que corresponde à resistividade do tungstênio. Portanto, o fio é de tungstênio.

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