Uma partícula se desloca em um plano x-y, de tal modo que a sua velocidade é dada por: v(t)=(6 t+2 t^2) i^wed>=+2 t^2 j. Determine:
(d) O tempo em que o componente vertical do vetor aceleração é zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre o movimento de uma partícula num plano x-y, onde a velocidade dela é dada por v(t) = (6t + 2t^2),i + 2t^2,j. A gente precisa descobrir em que momento o componente vertical da aceleração dela é zero. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, porque aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração a(t). Como a aceleração é a derivada da velocidade, vamos derivar cada componente da velocidade em relação a t:
a(t) = dv(t)dt = (ddt(6t + 2t^2))i + (ddt(2t^2))j

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas:
ddt(6t + 2t^2) = 6 + 4t
ddt(2t^2) = 4t
Então, a aceleração fica:
a(t) = (6 + 4t),i + 4t,j

Passo 4

Queremos que o componente vertical da aceleração seja zero. O componente vertical é a parte que está na direção j, que é 4t. Então, vamos igualar isso a zero e resolver para t:
4t = 0
Dividindo ambos os lados por 4:
t = 0

Resposta

O componente vertical da aceleração é zero no tempo t = 0.

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