Resolva a equação diferencial para um pêndulo amortecido (massa
, comprimento
), considerando ângulo máximo igual a
e que o pêndulo foi solto. Um pêndulo simples tem seu período reduzido pela metade após 10 oscilações completas. Determine a constante de amortecimento
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um pêndulo amortecido com massa
e comprimento
. A gente precisa resolver a equação diferencial que descreve o movimento desse pêndulo quando ele tem um ângulo máximo
e é solto. Além disso, foi dado que o período do pêndulo simples é reduzido pela metade após 10 oscilações completas. Nosso objetivo é descobrir a constante de amortecimento
. Então, vamos usar conceitos de movimento harmônico amortecido e um pouco de matemática para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos escrever a equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo amortecido. Para um pêndulo simples sem amortecimento, a equação é:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Como temos amortecimento, adicionamos um termo proporcional à velocidade (primeira derivada de
):
Aqui,
é a constante de amortecimento que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação característica associada é:
Resolvendo para
, temos:
Para que o movimento seja oscilatório (underdamped), precisamos que:
Assumindo que essa condição é verdadeira, a solução geral da equação é:
Onde
é a frequência angular do sistema amortecido.
Passo 4
O período do pêndulo amortecido é dado por:
Queremos que esse período seja reduzido pela metade após 10 oscilações. Primeiro, vamos entender como o período muda com o amortecimento.
Passo 5
Vamos considerar que após 10 oscilações, o período se reduz pela metade. Isso significa que inicialmente, o período era:
E após 10 oscilações, o novo período é:
Substituindo na expressão do período amortecido:
Simplificando:
Elevando os dois lados ao quadrado:
Resolvendo para
:
Aqui percebemos que chegamos a uma situação inválida, pois a constante de amortecimento não pode ser imaginária. Isso indica que assumimos algo errado na interpretação do problema. Na verdade, o período de um pêndulo amortecido não diminui pela metade após um número de oscilações; o que geralmente se altera é a amplitude. Vamos revisar a abordagem.
Passo 6
Vamos reconsiderar que o pêndulo realiza 10 oscilações completas e que o período total das oscilações é reduzido pela metade. Isso significa que o tempo total para 10 oscilações é a metade do tempo que levaria sem amortecimento.
Sem amortecimento, o período é:
O tempo para 10 oscilações seria:
Com amortecimento, o período é
, então o tempo para 10 oscilações é:
Igualando os tempos:
Cancelando
:
Elevando ao quadrado:
Invertendo os dois lados:
Isso nos leva a:
O que novamente não faz sentido. Parece que há uma inconsistência na interpretação do problema. Na verdade, reduzir o período pela metade não é uma característica típica do amortecimento em pêndulos. Talvez o enunciado queira dizer que a amplitude é reduzida pela metade após 10 oscilações.
Passo 7
Vamos supor que a amplitude é reduzida pela metade após 10 oscilações. A solução para a amplitude do pêndulo amortecido é:
A amplitude decresce exponencialmente com
. Queremos que após 10 oscilações, a amplitude seja
:
Cancelando
:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Sabemos que
, onde
, então:
Simplificando:
Sabendo que
:
Cancelando os sinais negativos:
Agora, isolamos
:
Resposta
A constante de amortecimento é: