Resolva a equação diferencial para um pêndulo amortecido (massa m, comprimento l ), considerando ângulo máximo igual a thetam e que o pêndulo foi solto. Um pêndulo simples tem seu período reduzido pela metade após 10 oscilações completas. Determine a constante de amortecimento gamma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um pêndulo amortecido com massa e comprimento . A gente precisa resolver a equação diferencial que descreve o movimento desse pêndulo quando ele tem um ângulo máximo e é solto. Além disso, foi dado que o período do pêndulo simples é reduzido pela metade após 10 oscilações completas. Nosso objetivo é descobrir a constante de amortecimento . Então, vamos usar conceitos de movimento harmônico amortecido e um pouco de matemática para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo amortecido. Para um pêndulo simples sem amortecimento, a equação é:
d^2thetadt^2 + gltheta = 0
Onde d^2thetadt^2 + gamma dthetadt + gltheta = 0 é a aceleração da gravidade.
Como temos amortecimento, adicionamos um termo proporcional à velocidade (primeira derivada de ):
Aqui, é a constante de amortecimento que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação característica associada é:
r^2 + gamma r + gl = 0
Resolvendo para r = -gamma pm raizgamma^2 - 4gl2 , temos:
gamma^2 < 4gl
Para que o movimento seja oscilatório (underdamped), precisamos que:
theta(t) = thetam e^-gamma2t cos(omega t + phi)
Assumindo que essa condição é verdadeira, a solução geral da equação é:
Onde é a frequência angular do sistema amortecido.

Passo 4

O período do pêndulo amortecido é dado por:
T = 2piomega = 2piraizgl - (gamma2)^2
Queremos que esse período seja reduzido pela metade após 10 oscilações. Primeiro, vamos entender como o período muda com o amortecimento.

Passo 5

Vamos considerar que após 10 oscilações, o período se reduz pela metade. Isso significa que inicialmente, o período era:
T0 = 2pi raizlg
E após 10 oscilações, o novo período é:
T = T02 = pi raizlg
Substituindo na expressão do período amortecido:
pi raizlg = 2piraizgl - (gamma2)^2
Simplificando:
raizgl - (gamma2)^2 = 2raizgl
Elevando os dois lados ao quadrado:
gl - (gamma2)^2 = 4gl
Resolvendo para -(gamma2)^2 = 3gl :
(gamma2)^2 = -3gl
Aqui percebemos que chegamos a uma situação inválida, pois a constante de amortecimento não pode ser imaginária. Isso indica que assumimos algo errado na interpretação do problema. Na verdade, o período de um pêndulo amortecido não diminui pela metade após um número de oscilações; o que geralmente se altera é a amplitude. Vamos revisar a abordagem.

Passo 6

Vamos reconsiderar que o pêndulo realiza 10 oscilações completas e que o período total das oscilações é reduzido pela metade. Isso significa que o tempo total para 10 oscilações é a metade do tempo que levaria sem amortecimento.
Sem amortecimento, o período é:
T0 = 2pi raizlg
O tempo para 10 oscilações seria:
t10 = 10T0 = 20pi raizlg
Com amortecimento, o período é t10 = 10T = 10 times 2piomega = 20piraizgl - (gamma2)^2 , então o tempo para 10 oscilações é:
20pi raizlg = 20piraizgl - (gamma2)^2
Igualando os tempos:
raizlg = 1raizgl - (gamma2)^2
Cancelando lg = 1gl - (gamma2)^2 :
gl = 1lg - (gamma2)^2
Elevando ao quadrado:
gl = gl - (gamma2)^2
Invertendo os dois lados:
0 = -(gamma2)^2
Isso nos leva a:
O que novamente não faz sentido. Parece que há uma inconsistência na interpretação do problema. Na verdade, reduzir o período pela metade não é uma característica típica do amortecimento em pêndulos. Talvez o enunciado queira dizer que a amplitude é reduzida pela metade após 10 oscilações.

Passo 7

Vamos supor que a amplitude é reduzida pela metade após 10 oscilações. A solução para a amplitude do pêndulo amortecido é:
theta(t) = thetam e^-gamma2t cos(omega t + phi)
A amplitude decresce exponencialmente com thetam2 = thetam e^-gamma2t10 . Queremos que após 10 oscilações, a amplitude seja 12 = e^-gamma2t10 :
ln(12) = -gamma2t10
Cancelando ln(12) = -gamma2 times 10 times 2pi raizlg :
ln(12) = -10pi gamma raizlg
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
-ln 2 = -10pi gamma raizlg
Sabemos que ln 2 = 10pi gamma raizlg , onde gamma = ln 210pi raizlg , então:
Simplificando:
Sabendo que :
Cancelando os sinais negativos:
Agora, isolamos :

Resposta

A constante de amortecimento é:
gamma = ln 210pi raizgl

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