Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para diferenciar a função
e dizer em qual região ela é analítica. Isso está dentro do estudo de funções de variáveis complexas, especificamente sobre derivadas e analiticidade. Para resolver, vamos precisar entender como diferenciamos funções que dependem do conjugado complexo
e verificar onde elas são analíticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em números complexos, uma função ser “analítica” significa que ela é diferenciável em um entorno de cada ponto do seu domínio. Para funções que envolvem tanto
quanto
, usamos as derivadas de Wirtinger, que tratam
e
como variáveis independentes.
Passo 3
A derivada de uma função
em relação a
é dada por:
E em relação a
:
Onde
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar isso na nossa função
. Primeiro, precisamos expressar
em termos de
e
. Sabemos que:
Então:
Passo 5
Usando a fórmula de Euler para o cosseno de um número complexo:
Aplicando isso:
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para encontrar
:
Passo 7
Substituindo na fórmula das derivadas de Wirtinger:
Simplificando:
Passo 8
Agora, para a função ser analítica, ela precisa satisfazer a condição
. Vamos calcular:
Simplificando:
Resposta
A derivada da função
é
, e ela é analítica somente na região onde
, ou seja, em todo o plano complexo. No entanto, como a função depende de
, na verdade, ela não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.
Exercícios relacionados
Dê um exemplo de uma sequência
, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(a) limitada e crescente;
(a) limitada e crescente;
d)
Expresse pelo seu termo geral
, cada uma das seguintes sequências.
(g)
(g)
Determine quais das sequências abaixo são crescentes, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente. Quais delas são limitadas?
e)
e)