Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para diferenciar a função e dizer em qual região ela é analítica. Isso está dentro do estudo de funções de variáveis complexas, especificamente sobre derivadas e analiticidade. Para resolver, vamos precisar entender como diferenciamos funções que dependem do conjugado complexo e verificar onde elas são analíticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em números complexos, uma função ser “analítica” significa que ela é diferenciável em um entorno de cada ponto do seu domínio. Para funções que envolvem tanto quanto , usamos as derivadas de Wirtinger, que tratam e como variáveis independentes.

Passo 3

A derivada de uma função em relação a é dada por:
E em relação a :
Onde .

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso na nossa função . Primeiro, precisamos expressar em termos de e . Sabemos que:
Então:

Passo 5

Usando a fórmula de Euler para o cosseno de um número complexo:
Aplicando isso:

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para encontrar :

Passo 7

Substituindo na fórmula das derivadas de Wirtinger:
Simplificando:

Passo 8

Agora, para a função ser analítica, ela precisa satisfazer a condição . Vamos calcular:
Simplificando:

Resposta

A derivada da função é , e ela é analítica somente na região onde , ou seja, em todo o plano complexo. No entanto, como a função depende de , na verdade, ela não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.

Exercícios relacionados

Dê um exemplo de uma sequência , não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(a) limitada e crescente;
calcule:
d)
Expresse pelo seu termo geral , cada uma das seguintes sequências.
(g)
Determine quais das sequências abaixo são crescentes, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente. Quais delas são limitadas?
e)