Determine quais das sequências abaixo são crescentes, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente. Quais delas são limitadas?
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão: precisamos determinar se a sequência
é crescente, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente. Além disso, vamos verificar se essa sequência é limitada. Para resolver isso, vamos precisar entender como as sequências funcionam, especialmente no que diz respeito ao crescimento ou decrescimento e à limitação delas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento geral da sequência
. Aqui, temos duas partes:
, que aumenta conforme
cresce, e
, que diminui porque
. Então, estamos multiplicando algo que está aumentando por algo que está diminuindo. Precisamos ver qual dessas tendências domina.
Passo 3
Para entender se a sequência está crescendo ou decrescendo, vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
À medida que
aumenta,
se aproxima de 0, então a expressão
se aproxima de
, que é aproximadamente 0,3679. Como essa razão é menor que 1 para
, isso indica que cada termo é menor que o anterior, ou seja, a sequência está decrescendo.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a sequência é estritamente decrescente. Observamos que, para todo
:
Como cada termo é definitivamente menor que o anterior, a sequência é estritamente decrescente.
Passo 5
Por fim, vamos analisar se a sequência é limitada. Sabemos que
sempre será positivo e tende a 0 conforme
aumenta. Além disso,
também será positivo porque
é positivo. Portanto, todos os termos da sequência são positivos e não ultrapassam o primeiro termo:
Assim, a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por
.
Resposta
A sequência
é decrescente, estritamente decrescente e limitada.
Exercícios relacionados
Expresse pelo seu termo geral
, cada uma das seguintes sequências.
(g)
(g)
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(e)
(e)
Calcule as seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
(d) , onde
é o percurso poligonal que consiste nos segmentos de retas de
a
, de
a
e de
a
.
(d)
Determine se as seguintes sequências convergem ou divergem. Caso convirjam, encontre seu limite.
e)
e)