Determine quais das sequências abaixo são crescentes, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente. Quais delas são limitadas?
e) a_n = n e^(-n)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão: precisamos determinar se a sequência é crescente, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente. Além disso, vamos verificar se essa sequência é limitada. Para resolver isso, vamos precisar entender como as sequências funcionam, especialmente no que diz respeito ao crescimento ou decrescimento e à limitação delas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral da sequência . Aqui, temos duas partes: , que aumenta conforme cresce, e , que diminui porque . Então, estamos multiplicando algo que está aumentando por algo que está diminuindo. Precisamos ver qual dessas tendências domina.

Passo 3

Para entender se a sequência está crescendo ou decrescendo, vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
À medida que aumenta, se aproxima de 0, então a expressão se aproxima de , que é aproximadamente 0,3679. Como essa razão é menor que 1 para , isso indica que cada termo é menor que o anterior, ou seja, a sequência está decrescendo.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a sequência é estritamente decrescente. Observamos que, para todo :
Como cada termo é definitivamente menor que o anterior, a sequência é estritamente decrescente.

Passo 5

Por fim, vamos analisar se a sequência é limitada. Sabemos que sempre será positivo e tende a 0 conforme aumenta. Além disso, também será positivo porque é positivo. Portanto, todos os termos da sequência são positivos e não ultrapassam o primeiro termo:
Assim, a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por .

Resposta

A sequência é decrescente, estritamente decrescente e limitada.

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