Expresse pelo seu termo geral , cada uma das seguintes sequências.
(g)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência de números: . O objetivo é encontrar uma fórmula que, para qualquer posição , nos diga qual é o termo dessa sequência. Para isso, vamos precisar entender o padrão dessa sequência e usar um pouco de matemática básica.

Passo 2

Observando a sequência, percebemos que ela está alternando entre e . Ou seja, o primeiro termo é , o segundo é , o terceiro volta para , o quarto para , e assim por diante. Essa alternância sugere que podemos usar uma função que mude de valor a cada termo, como as funções que envolvem potências de .

Passo 3

Para representar essa alternância, vamos pensar em uma expressão que oscile entre dois valores. Uma forma comum de fazer isso é usando , que alterna entre e dependendo do valor de . Mas como nossos valores alternam entre e , precisamos ajustar essa expressão.

Passo 4

Vamos montar a fórmula passo a passo. Sabemos que queremos que os valores alternem entre e . Podemos escrever isso da seguinte forma:
Vamos escolher o valor constante como a média dos dois números: . Agora, queremos um termo que faça variar em torno de . A diferença entre e é , e entre e é . Então, podemos usar para alternar entre e .
Então, a fórmula fica:

Resposta

A fórmula geral da sequência é:

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Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(e)
Dê um exemplo de uma sequência , não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(a) limitada e crescente;
Determine quais das sequências abaixo são crescentes, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente. Quais delas são limitadas?
e)
Calcule as seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
(d) , onde é o percurso poligonal que consiste nos segmentos de retas de a , de a e de a .