Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.
Toda função limitada é integrável.
Toda função limitada é integrável.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Toda função limitada é integrável.” Aqui, estamos trabalhando com o conceito de integrabilidade, especificamente no contexto da Integral de Riemann. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser limitada e o que caracteriza uma função integrável.
Passo 2
Primeiro, uma função limitada é aquela que não “explode” para infinito; ou seja, existe um número real
tal que para todo
no domínio da função,
. Isso significa que os valores da função estão restritos dentro de certos limites.
Passo 3
Agora, sobre integrabilidade, na Integral de Riemann, uma função é integrável se a soma das áreas dos seus retângulos intermediários (chamadas de somas de Riemann) se aproxima de um valor específico à medida que os retângulos ficam mais finos. Basicamente, a função precisa ter “poucas” descontinuidades para ser integrável nesse sentido.
Passo 4
Embora toda função contínua em um intervalo fechado seja integrável, nem toda função limitada é integrável. Por exemplo, considere a função de Dirichlet, que �� definida como:
Essa função é limitada (sempre entre 0 e 1), mas ela não é integrável no sentido de Riemann porque possui um número infinito de descontinuidades em qualquer intervalo.
Passo 5
Portanto, a afirmação de que “toda função limitada é integrável” é falsa no contexto da Integral de Riemann, já que existem funções limitadas que não atendem aos critérios de integrabilidade devido às suas descontinuidades.
Resposta
Falso. Nem toda função limitada é integrável.
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Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.
Toda função é integrável.
Toda função é integrável.
Considere a função
. Utilize o gráfico de
para calcular as integrais abaixo.
.
Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.
Se é contínua em
, então
é integrável em
.
Se
Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.
Se é contínua por partes em
, então
é integrável em
.
Se