Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.
Se
é contínua por partes em
, então
é integrável em
.
Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação diz: “Se
é contínua por partes em
, então
é integrável em
.” Aqui, estamos trabalhando com Cálculo, especificamente com integração e continuidade. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua por partes e o que é ser integrável no intervalo.
Passo 2
Uma função é contínua por partes em
se o intervalo pode ser dividido em subintervalos nos quais a função é contínua. Ou seja, mesmo que a função possa ter alguns pontos de descontinuidade, ela é contínua nas partes restantes do intervalo.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre ser integrável. No contexto de integração de Riemann, uma função é integrável em
se o limite das somas de Riemann existir. Uma condição suficiente para que uma função seja integrável é que ela seja limitada e que o conjunto de pontos de descontinuidade tenha medida zero.
Passo 4
Como
é contínua por partes, ela é contínua em cada subintervalo dividido. As descontinuidades que
pode ter são apenas nos pontos onde as peças se encontram. Esses pontos são finitos ou, no máximo, contáveis, ou seja, têm medida zero.
Passo 5
Portanto,
satisfaz as condições para ser integrável de Riemann: é limitada e suas descontinuidades têm medida zero. Assim, concluímos que a afirmação é verdadeira.
Resposta
Verdadeiro. Se
é contínua por partes em
, então
é integrável em
.
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Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.
Se é contínua em
, então
é integrável em
.
Se
Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.
Toda função limitada é integrável.
Toda função limitada é integrável.
Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.
Como o resultado de uma integral é uma área, então o resultado de uma integral sempre é maior ou igual a 0 .
Como o resultado de uma integral é uma área, então o resultado de uma integral sempre é maior ou igual a 0 .
Seja
uma função contínua. Mostre que
é uma solução para a equação diferencial
com condição inicial
.