Suponha que o campo de forças F(x, y) = (y^2 + 2x + 4) * i + (2xy + 4y - 5) * j mova uma partícula da origem ao ponto 1,1. Calcule o trabalho ao longo dos seguintes caminhos:
i - segmento de reta da origem ao ponto 1,1;
ii - do segmento da parábola y = x^2 da origem ao ponto 1,1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho feito por um campo de forças específico quando uma partícula vai da origem até o ponto (1,1) seguindo dois caminhos diferentes: uma reta e uma parábola. Para isso, vamos usar o conceito de trabalho por um campo de forças, que envolve calcular uma integral de linha. Vamos precisar entender como parametrizar os caminhos e aplicar a fórmula do trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho no contexto de campos de forças. O trabalho feito por um campo de forças ao mover uma partícula ao longo de um caminho é dado por:
Aqui, é o vetor diferencial de deslocamento ao longo do caminho.

Passo 3

Vamos começar com a parte i, onde o caminho é um segmento de reta da origem até o ponto (1,1). Para parametrizar esse caminho, podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1, onde:
Assim, e . O vetor diferencial de deslocamento é a derivada de em relação a vezes :

Passo 4

Agora, substituímos e na expressão do campo de forças :

Passo 5

Calculamos o produto escalar :

Passo 6

Finalmente, integramos essa expressão de a para encontrar o trabalho:

Parte ii

Agora, vamos para a parte ii, onde o caminho é a parábola . Vamos parametrizar esse caminho usando como parâmetro, então e , com variando de 0 a 1.

Passo 7

O vetor diferencial de deslocamento nesse caso é:

Passo 8

Substituímos e na expressão do campo de forças :

Passo 9

Calculamos o produto escalar :

Passo 10

Integramos essa expressão de a para encontrar o trabalho:

Resposta

O trabalho realizado ao longo do segmento de reta e da parábola é de 3 Joules para cada caminho.

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