Suponha que o campo de forças
mova uma partícula da origem ao ponto
. Calcule o trabalho ao longo dos seguintes caminhos:
i - segmento de reta da origem ao ponto
;
ii - do segmento da parábola
da origem ao ponto
.
i - segmento de reta da origem ao ponto
ii - do segmento da parábola
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho feito por um campo de forças específico quando uma partícula vai da origem até o ponto (1,1) seguindo dois caminhos diferentes: uma reta e uma parábola. Para isso, vamos usar o conceito de trabalho por um campo de forças, que envolve calcular uma integral de linha. Vamos precisar entender como parametrizar os caminhos e aplicar a fórmula do trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho no contexto de campos de forças. O trabalho
feito por um campo de forças
ao mover uma partícula ao longo de um caminho
é dado por:
Aqui,
é o vetor diferencial de deslocamento ao longo do caminho.
Passo 3
Vamos começar com a parte i, onde o caminho é um segmento de reta da origem até o ponto (1,1). Para parametrizar esse caminho, podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1, onde:
Assim,
e
. O vetor diferencial de deslocamento
é a derivada de
em relação a
vezes
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na expressão do campo de forças
:
Passo 5
Calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Finalmente, integramos essa expressão de
a
para encontrar o trabalho:
Parte ii
Agora, vamos para a parte ii, onde o caminho é a parábola
. Vamos parametrizar esse caminho usando
como parâmetro, então
e
, com
variando de 0 a 1.
Passo 7
O vetor diferencial de deslocamento
nesse caso é:
Passo 8
Substituímos
e
na expressão do campo de forças
:
Passo 9
Calculamos o produto escalar
:
Passo 10
Integramos essa expressão de
a
para encontrar o trabalho:
Resposta
O trabalho realizado ao longo do segmento de reta e da parábola é de 3 Joules para cada caminho.