Uma turma de Eng do CAP deseja fazer uma festa em um espaço de eventos de Ouro Branco com capacidade para 1600 pessoas.
Pela experiência anterior, sabe-se que o número de pessoas que vai a festa pode ser modelado pela função y(x) = a x^2 + b x + c, onde x é o preço do ingresso e portanto x em R+, e y é o número de pessoas aproximadamente. Para um preço de R \$, ou seja ou seja, o número de pessoas esperadas é 1600 pessoas, e o número de pessoas esperadas é 1600 pessoas é ponto do vértice da parábola. Para um preço ponto do vértice da parábola para um preço, espera-se que ninguém queira comprar o ingresso, isso é espera-se que ninguém queira comprar o ingresso, isso é. O custo estimado para a festa é dado pela equação da reta O custo estimado para a festa é dado pela equação da reta, isto é, R isto é, R pessoa. Considerando os dados apresentados, faça:
a) um esboço do gráfico do número de pessoas em função do preço;
b) um esboço do gráfico da receita bruta em função do preço;
c) um esboço do gráfico do custo da festa em função do preço;
e) um esboço do gráfico do lucro em função do preço.
f) Verifique que o lucro máximo será obtido quando 55,00 /. Quantas pessas irão a festa se o preço for de x = 250 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma turma de Engenharia do CAP que quer organizar uma festa num espaço que comporta até 1600 pessoas. A gente precisa entender como o preço do ingresso ( x) afeta o número de pessoas que vão à festa ( y). A função que relaciona esses valores é quadrática: . Além disso, sabemos que:
  • Quando x = 0, (ou seja, sem preço, todo mundo vai).
  • O ponto x = 0 é o vértice da parábola.
  • Quando , (ninguém quer pagar esse preço).
Vamos usar esses dados pra descobrir os coeficientes a, b e c da função, e depois responder a pergunta: quantas pessoas iriam à festa se o preço do ingresso for R$ 250?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que x = 0 é o vértice da parábola. Em funções quadráticas da forma , o vértice tem coordenadas onde:
Como o vértice é , temos que e . Vamos usar isso para encontrar b.
Sabendo que :
Agora, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos usar o outro dado que temos: quando , . Substituindo na função:
Resolvendo para a:
Então, a função que modela o número de pessoas é:

Passo 4

Agora, queremos saber quantas pessoas irão à festa se o preço do ingresso for R$ 250, ou seja, quando . Vamos substituir na função:
Calculando:

Resposta

Se o preço do ingresso for de R$ 250, aproximadamente 975 pessoas irão à festa.

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