Dimensionar uma viga em balanço com uma carga uniformemente distribuída de 10 kN / m ao longo de seu comprimento de 4 m . A viga tem seção retangular A times 2 A. Calcular A em número inteiro de centímetros. Dados E=2.10^5 MPa, barsigma=120 MPa e barv=12 cm.
Resposta: A=10 cm, sigmamax =120 MPa e vmax =11,574 mm.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão nos pede! Temos uma viga em balanço, ou seja, fixada em uma ponta e livre na outra, com uma carga distribuída uniformemente de 10 kN/m ao longo de seus 4 , m. A seção transversal dessa viga é retangular, com lados A e 2A. Nosso objetivo é encontrar o valor de A em centímetros inteiros, usando os dados fornecidos: módulo de elasticidade E = 2 times 10^5 , MPa, tensão admissível barsigma = 120 , MPa e deflexão máxima permitida barv = 12 , cm. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de resistência dos materiais, especificamente relacionados a vigas sujeitas a flexão e deflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento fletor máximo na viga. Para uma viga em balanço com carga distribuída uniforme, o momento fletor máximo ( Mmax) ocorre na fixação e é dado por:
Mmax = w L^22
onde w = 10 , kN/m = 10 times 10^3 , N/m e L = 4 , m.
Substituindo os valores:
Mmax = 10 times 10^3 times (4)^22 = 10 times 10^3 times 162 = 80 times 10^3 , N cdot m

Passo 3

Agora, vamos relacionar esse momento fletor com a tensão na seção transversal da viga. A tensão máxima ( sigmamax) na flexão é dada por:
sigmamax = Mmax cdot cI
onde c é a distância do centroide até a fibra mais distante e I é o momento de inércia da seção.
Como a seção é retangular A times 2A, temos:
c = A
E o momento de inércia para a seção retangular é:
I = A (2A)^312 = 16 A^412 = 4 A^43
Substituindo na equação da tensão:
120 times 10^6 = 80 times 10^3 times A4 A^43 Rightarrow 120 times 10^6 = 80 times 10^3 times 34 A^3
Resolvendo para A:
120 times 10^6 = 240 times 10^34 A^3 Rightarrow 120 times 10^6 = 60 times 10^3A^3
A^3 = 60 times 10^3120 times 10^6 = 0.0005 Rightarrow A = raiz[3]0.0005 approx 0.0794 , m = 7.94 , cm
Arredondando para o número inteiro mais próximo, temos A = 8 , cm.

Passo 4

Vamos agora verificar a deflexão para garantir que está dentro do limite permitido. A deflexão máxima ( vmax) para uma viga em balanço com carga distribuída é dada por:
vmax = w L^48 E I
Substituindo os valores:
vmax = 10 times 10^3 times 4^48 times 2 times 10^5 times 4 A^43 = 10 times 10^3 times 2568 times 2 times 10^5 times 4 A^43
Simplificando:
vmax = 2.56 times 10^66.4 times 10^5 times A^4 = 4A^4 , cm
Substituindo A = 8 , cm:
vmax = 44096 approx 0.0009766 , m = 0.9766 , cm
Como 0.9766 , cm < 12 , cm, a deflexão está dentro do limite permitido.

Resposta

A = 8 , cm, sigmamax = 120 , MPa e vmax = 0.9766 , cm.

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