Em uma máquina usa-se uma barra prismática de 10 m de comprimento, comprimida por uma foŗa de 500 kN . Sabendo-se que tensāo nāo deve exceder 140 kN / cm^2 e o encurtamento nảo deve exceder 3 mm , pede-se determinar o diâmetro da barra
E=21000 kN / cm^2

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma barra prismática de 10 metros de comprimento que está sendo comprimida por uma força de 500 kN. Precisamos garantir que:
  1. A tensão na barra não exceda 140 kN/cm².
  2. O encurtamento da barra não seja maior que 3 mm.
Queremos determinar o diâmetro dessa barra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Resistência dos Materiais, especificamente as fórmulas de tensão e deformação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área mínima da seção transversal da barra para que a tensão não ultrapasse o limite de 140 kN/cm².
A tensão ( sigma = FA ) é dada por:
A = Fsigma
Onde:
  • A = 500, kN140, kN/cm^2 = 500140, cm^2 approx 3,57, cm^2 é a tensão.
  • é a força aplicada.
  • é a área da seção transversal.
Rearranjando para encontrar :
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos verificar a condição do encurtamento máximo permitido de 3 mm. A fórmula para o encurtamento ( De) é:
A = F cdot LDe
Onde:
  • A = 500, kN cdot 1000, cm0,3, cm cdot 21000, kN/cm^2 = 500 times 10000,3 times 21000, cm^2 approx 7,94, cm^2 é o encurtamento.
  • é a força aplicada.
  • é o comprimento original da barra.
  • é a área da seção transversal.
  • é o módulo de elasticidade.
Queremos que .
Rearranjando para :
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, temos duas áreas mínimas calculadas para atender às duas condições:
  1. Pela tensão:
  2. Pelo encurtamento:
Para garantir que ambas as condições sejam satisfeitas, devemos escolher a maior dessas áreas. Portanto, a área mínima necessária é 7,94 cm².

Passo 5

Agora, vamos relacionar a área da seção transversal com o diâmetro da barra. Para uma seção circular, a área A = pi d^24 é dada por:
d = raiz4Api
Onde:
  • d = raiz4 times 7,94pi approx raiz31,763,1416 approx raiz10,12 approx 3,18, cm é o diâmetro.
Rearranjando para encontrar :
Substituindo :

Resposta

O diâmetro mínimo da barra necessário para atender às condições de tensão e encurtamento é aproximadamente 3,18 cm.

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