Em uma máquina usa-se uma barra prismática de 10 m de comprimento, comprimida por uma foŗa de 500 kN . Sabendo-se que tensāo nāo deve exceder e o encurtamento nảo deve exceder 3 mm , pede-se determinar o diâmetro da barra

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma barra prismática de 10 metros de comprimento que está sendo comprimida por uma força de 500 kN. Precisamos garantir que:
  1. A tensão na barra não exceda 140 kN/cm².
  2. O encurtamento da barra não seja maior que 3 mm.
Queremos determinar o diâmetro dessa barra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Resistência dos Materiais, especificamente as fórmulas de tensão e deformação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área mínima da seção transversal da barra para que a tensão não ultrapasse o limite de 140 kN/cm².
A tensão ( ) é dada por:
Onde:
  • é a tensão.
  • é a força aplicada.
  • é a área da seção transversal.
Rearranjando para encontrar :
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos verificar a condição do encurtamento máximo permitido de 3 mm. A fórmula para o encurtamento ( ) é:
Onde:
  • é o encurtamento.
  • é a força aplicada.
  • é o comprimento original da barra.
  • é a área da seção transversal.
  • é o módulo de elasticidade.
Queremos que .
Rearranjando para :
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, temos duas áreas mínimas calculadas para atender às duas condições:
  1. Pela tensão:
  2. Pelo encurtamento:
Para garantir que ambas as condições sejam satisfeitas, devemos escolher a maior dessas áreas. Portanto, a área mínima necessária é 7,94 cm².

Passo 5

Agora, vamos relacionar a área da seção transversal com o diâmetro da barra. Para uma seção circular, a área é dada por:
Onde:
  • é o diâmetro.
Rearranjando para encontrar :
Substituindo :

Resposta

O diâmetro mínimo da barra necessário para atender às condições de tensão e encurtamento é aproximadamente 3,18 cm.

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