Em uma máquina usa-se uma barra prismática de 10 m de comprimento, comprimida por uma foŗa de 500 kN . Sabendo-se que tensāo nāo deve exceder
e o encurtamento nảo deve exceder 3 mm , pede-se determinar o diâmetro da barra
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma barra prismática de 10 metros de comprimento que está sendo comprimida por uma força de 500 kN. Precisamos garantir que:
- A tensão na barra não exceda 140 kN/cm².
- O encurtamento da barra não seja maior que 3 mm.
Queremos determinar o diâmetro dessa barra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Resistência dos Materiais, especificamente as fórmulas de tensão e deformação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área mínima da seção transversal da barra para que a tensão não ultrapasse o limite de 140 kN/cm².
A tensão (
) é dada por:
Onde:
-
é a tensão. -
é a força aplicada. -
é a área da seção transversal.
Rearranjando para encontrar
:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos verificar a condição do encurtamento máximo permitido de 3 mm. A fórmula para o encurtamento (
) é:
Onde:
-
é o encurtamento. -
é a força aplicada. -
é o comprimento original da barra. -
é a área da seção transversal. -
é o módulo de elasticidade.
Queremos que
.
Rearranjando para
:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, temos duas áreas mínimas calculadas para atender às duas condições:
- Pela tensão:
- Pelo encurtamento:
Para garantir que ambas as condições sejam satisfeitas, devemos escolher a maior dessas áreas. Portanto, a área mínima necessária é 7,94 cm².
Passo 5
Agora, vamos relacionar a área da seção transversal com o diâmetro da barra. Para uma seção circular, a área
é dada por:
Onde:
-
é o diâmetro.
Rearranjando para encontrar
:
Substituindo
:
Resposta
O diâmetro mínimo da barra necessário para atender às condições de tensão e encurtamento é aproximadamente 3,18 cm.