Um dipolo elétrico formado por duas cargas +e e -e separadas por uma distância d=0,50 n m é submetido a ação de um campo elétrico E=Ex x+Ey y. Sendo o momento do dipolo elétrico p=p z, e o torque que age sobre o dipolo representado pelo vetor tau=(1,5 10^-26 N cdot m) x+(1 cdot 10^-26 N cdot m) y, determine:
o trabalho realizado para alinhar o dipolo elétrico ao campo elétrico em Joules;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre dipolo elétrico! A gente vai precisar entender conceitos de momento dipolar, torque e trabalho em campos elétricos. Vou te mostrar passo a passo como calcular o trabalho necessário para alinhar o dipolo elétrico ao campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de dipolo elétrico é dado por:
p = q cdot d
onde p = p z é a carga e é o vetor que separa as cargas.
Nesse caso, o momento do dipolo é:

Passo 3

O torque ( tau = p times E ) que atua sobre o dipolo em um campo elétrico ( ) é dado por:
Isso significa que o torque depende do produto vetorial entre o momento do dipolo e o campo elétrico.

Passo 4

O trabalho realizado para alinhar o dipolo ao campo elétrico está relacionado à variação da energia potencial eletrostática. A energia potencial ( U = -p cdot E ) de um dipolo no campo é:
Para alinhar o dipolo, ele passa de uma posição inicial a uma final onde está alinhado com o campo.

Passo 5

Vamos calcular a energia potencial inicial e final:
  • Energia Inicial ( Ui = -p E cos(theta) ): Quando o dipolo está na posição inicial, formando um ângulo Uf = -p E cos(0) = -p E com o campo.
  • Energia Final ( ): Quando o dipolo está alinhado com o campo, .

Passo 6

O trabalho realizado ( W = Uf - Ui = -p E + p E cos(theta) = p E (1 - cos(theta)) ) para alinhar o dipolo é a diferença entre a energia final e a inicial:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar o momento dipolar ( p = q cdot d ) e o campo elétrico ( p = 1,6 times 10^-19 , C times 0,50 times 10^-9 , m = 8,0 times 10^-29 , C cdot m ).
Sabemos que o momento dipolar é:
Onde:
  • (carga elementar)
Então,

Passo 8

Para encontrar o campo elétrico ( tau = p times E ), podemos usar o torque dado:
tau = (1,5 times 10^-26 , N cdot m) x + (1 times 10^-26 , N cdot m) y
Dado que o torque é:
|tau| = raiz(1,5 times 10^-26)^2 + (1 times 10^-26)^2 approx 1,8 times 10^-26 , N cdot m
A magnitude total do torque é:
|tau| = p E sin(theta)
Sabemos que:
E = |tau|p = 1,8 times 10^-26 , N cdot m8,0 times 10^-29 , C cdot m = 2,25 times 10^2 , N/C
Assumindo que estamos alinhando o dipolo, varia de algum ângulo inicial até 0. Para simplificar, consideraremos o caso onde inicialmente , então .
Então,

Passo 9

Agora, voltando à fórmula do trabalho:
W = p E (1 - cos(theta))
Como W = p E (1 - cos(0)) = p E (1 - 1) = 0 , J vai de W = p E (cos(theta) - cos(0)) = p E (cos(theta) - 1) a W = p E (0 - 1) = -p E ,
Mas isso não faz sentido, então vamos reconsiderar.
Na verdade, o trabalho realizado para alinhar o dipolo de para 0 é:
Como estamos alinhando, passa de 0 a 1, então:
O trabalho é negativo, indicando que a energia é liberada no processo.

Passo 10

Substituindo os valores:
W = -8,0 times 10^-29 , C cdot m times 2,25 times 10^2 , N/C = -1,8 times 10^-26 , J

Resposta

O trabalho realizado para alinhar o dipolo elétrico ao campo elétrico é de aproximadamente Joules.

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