Uma partícula se move de tal forma que sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por r=i+ 4 r^2 j+t k. Escreva expressões para (a) sua velocidade e (b) sua aceleração em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente está lidando com cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento das partículas. A tarefa é encontrar a velocidade e a aceleração de uma partícula que tem sua posição expressa por uma função do tempo. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, porque velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função de posição da partícula. A posição é dada por:
r(t) = i + 4 t^2 j + t k
Aqui, i, j e k são os vetores unitários nos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = dr(t)dt
Vamos derivar cada componente da posição:
  • A componente em i é constante (1), então a derivada é 0.
  • A componente em j é 4t^2, cuja derivada é 8t.
  • A componente em k é t, cuja derivada é 1.
Então, a velocidade fica:
v(t) = 0,i + 8t,j + 1,k

Passo 4

Agora que temos a velocidade, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt
Derivando cada componente da velocidade:
  • A componente em i é 0, então a derivada é 0.
  • A componente em j é 8t, cuja derivada é 8.
  • A componente em k é 1, cuja derivada é 0.
Então, a aceleração fica:
a(t) = 0,i + 8,j + 0,k

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é:
v(t) = 8t,j + k
E a aceleração da partícula em função do tempo é:
a(t) = 8,j

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