Uma partícula se move de tal forma que sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por . Escreva expressões para (a) sua velocidade e (b) sua aceleração em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente está lidando com cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento das partículas. A tarefa é encontrar a velocidade e a aceleração de uma partícula que tem sua posição expressa por uma função do tempo. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, porque velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função de posição da partícula. A posição é dada por:
Aqui, , e são os vetores unitários nos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos derivar cada componente da posição:
  • A componente em é constante (1), então a derivada é 0.
  • A componente em é , cuja derivada é .
  • A componente em é , cuja derivada é 1.
Então, a velocidade fica:

Passo 4

Agora que temos a velocidade, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente da velocidade:
  • A componente em é 0, então a derivada é 0.
  • A componente em é , cuja derivada é 8.
  • A componente em é 1, cuja derivada é 0.
Então, a aceleração fica:

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é:
E a aceleração da partícula em função do tempo é:

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