Em que direção e sentido se deve seguir, começando da origem, para obter a taxa mais rápida de decrescimento da função
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função de três variáveis,
. A tarefa é descobrir em que direção e sentido a gente deve seguir, partindo da origem, para que a função diminua o mais rápido possível. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente o uso do gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a direção de maior aumento de uma função ocorre na direção do gradiente dela. Portanto, para encontrar a direção de maior diminuição, a gente simplesmente vai na direção oposta ao gradiente. Então, nosso objetivo é calcular o gradiente de
e depois inverter a direção.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Passo 4
Calculando cada derivada parcial:
- Com relação a
:
Simplificando:
- Com relação a
:
Simplificando:
- Com relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente na origem, ou seja, quando
,
e
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, o gradiente na origem é:
Passo 6
Como queremos a direção de diminuição mais rápida, a gente vai usar o vetor inverso do gradiente:
Passo 7
Para ter a direção correta, vamos transformar esse vetor em um vetor unitário (com comprimento 1). Primeiro, calculamos o comprimento do vetor:
Então, o vetor unitário na direção de diminuição é:
Resposta
A direção de maior decrescimento da função, partindo da origem, é na direção do vetor unitário
.
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, com
. Além disso, determine os extremos globais desta função.
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e
.
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. Um mosquito localizado em
deseja esfriar-se o mais rápido possível. Em que direção e sentido ele deve voar?
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e
.