Use um CAS para encontrar a área englobada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar a área que fica entre duas curvas:
e
. O assunto aqui é cálculo integral, onde a gente vai usar integrais para calcular essa área. Para isso, vamos precisar encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram, determinar qual está em cima da outra nesse intervalo e, finalmente, calcular a integral da diferença entre elas.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se cruzam. Isso significa igualar as duas equações e resolver para
:
Passo 3
Vamos rearranjar essa equação para igualar tudo a zero:
Essa equação polinomial pode ser complicada de resolver manualmente, por isso é ideal usar uma Calculadora Algébrica Computacional (CAS) para encontrar os valores de
que satisfazem essa equação.
Passo 4
Após usar a CAS para resolver a equação
, encontramos os pontos de interseção. Vamos supor que os valores de
encontrados s��o
e
. (Nota: Os valores reais podem variar dependendo da solução da equação pelo CAS.)
Passo 5
Agora que temos os limites de integração (
e
), precisamos saber qual das duas curvas está acima da outra nesse intervalo. Para isso, escolhemos um valor de
dentro do intervalo, por exemplo,
, e calculamos os valores das duas funções:
Isso mostra que
está acima de
nesse intervalo.
Passo 6
A área entre as duas curvas é dada pela integral da diferença das funções no intervalo de
a
:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
A área englobada pelas curvas
e
é igual a
unidades de área.
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).