A temperatura do ar em pontos do espaço é dada pela função
. Um mosquito localizado em
deseja esfriar-se o mais rápido possível. Em que direção e sentido ele deve voar?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a temperatura do ar em pontos no espaço, dada pela função
. Temos um mosquito na posição
que quer esfriar-se o mais rápido possível. Para descobrir em qual direção e sentido ele deve voar, vamos precisar entender como a temperatura varia nesse espaço e qual direção leva a uma diminuição mais rápida da temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a direção em que a temperatura diminui mais rapidamente, usamos o gradiente da função temperatura. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Então, para esfriar-se o mais rápido, o mosquito deve voar na direção oposta ao gradiente.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é dado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto onde o mosquito está, que é
:
Esse vetor
aponta na direção de maior aumento da temperatura.
Passo 5
Como o mosquito quer diminuir a temperatura o máximo possível, ele deve ir na direção oposta ao gradiente. Então, a direção será
.
Passo 6
Para ter a direção unificada, podemos normalizar esse vetor. Primeiro, calculamos o módulo do vetor
:
Então, o vetor direcional normalizado é:
Resposta
O mosquito deve voar na direção
, ou seja, na direção oposta ao gradiente da função temperatura no ponto
, para esfriar-se o mais rápido possível.
Exercícios relacionados
Em que direção e sentido se deve seguir, começando da origem, para obter a taxa mais rápida de decrescimento da função
?
Esboce o gráfico de
, com
. Além disso, determine os extremos globais desta função.
Use um CAS para encontrar a área englobada pelas curvas
e
.
Suponha que a temperatura
num ponto
é dada por
. Determine a taxa de variação de
no ponto
com respeito ao vetor
. Em que direção e sentido
cresce mais rapidamente nesse ponto? Qual a taxa máxima de crescimento?