Você seleciona aleatoriamente 16 cafeterias e mede a temperatura do café vendido em cada uma delas. A temperatura média da amostra é 162,0 ^circ F com desvio padrão de 10,0 ㅇ . Construa um intervalo de confiança de 95 % para a temperatura média da população de cafés vendidos. Suponha que as temperaturas tenham distribuição aproximadamente normal. R: 156,7, 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre medir a temperatura do café em 16 cafeterias diferentes. A média dessas temperaturas foi de 162,0^circ F e o desvio padrão foi de 10,0 graus. Nosso objetivo aqui é construir um intervalo de confiança de 95% para a temperatura média de todos os cafés vendidos. Para isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, mais especificamente, vamos calcular um intervalo de confiança para a média populacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá um intervalo dentro do qual acreditamos que a verdadeira média da população esteja, com um certo nível de confiança. No nosso caso, queremos ter 95% de certeza de que a média verdadeira está dentro desse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos listar os dados que temos:
  • Tamanho da amostra ( n): 16
  • Média da amostra ( x): 162,0°F
  • Desvio padrão da amostra ( s): 10,0°F
  • Nível de confiança: 95%

Passo 4

Como a nossa amostra é pequena (menor que 30) e estamos assumindo que a distribuição das temperaturas é aproximadamente normal, vamos usar a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança.

Passo 5

O próximo passo é calcular o erro padrão da média. O erro padrão nos diz o quanto a média da amostra pode variar em relação à média verdadeira da população. A fórmula é:
Erro padrão = sraizn ã
Substituindo os valores:
Erro padrão = 10,0raiz16 = 10,04 = 2,5 ã

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor crítico t correspondente a um nível de confiança de 95% e com n - 1 = 15 graus de liberdade. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que t0,025 approx 2,131.

Passo 7

Com o valor crítico em mãos, calculamos o erro máximo que será usado para construir o intervalo:
Erro máximo = talpha/2 times Erro padrão = 2,131 times 2,5 approx 5,3275 áã

Passo 8

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo o erro máximo da média da amostra:
x - Erro máximo < mu < x + Erro máximo áá
Substituindo os valores:
162,0 - 5,3275 < mu < 162,0 + 5,3275
156,6725 < mu < 167,3275

Resposta

Portanto, o intervalo de confiança de 95% para a temperatura média dos cafés vendidos é aproximadamente:
156,7 < mu < 167

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