Em uma disciplina há 12 tópicos e um professor elaborou uma questão para cada tópico. Se este professor quer que a prova final tenha 8 questões e que os tópicos não se repitam, quantas provas diferentes este professor poderá elaborar? Obs.: Se duas provas possuem as mesmas questões então elas são iguais.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma disciplina com 12 tópicos, e para cada tópico o professor criou uma questão. Ele quer montar uma prova final com 8 questões, mas cada questão tem que ser de um tópico diferente, ou seja, sem repetir tópicos. A gente precisa descobrir de quantas formas diferentes o professor pode montar essa prova. Para resolver isso, vamos usar um conceito de combinação, que trata de selecionar itens sem se importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é combinação. Combinação é uma maneira de escolher itens de um grupo maior onde a ordem não importa. A fórmula para calcular combinações de C(n, k) = n!k! times (n - k)! itens escolhendo é:
Aqui, o representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até aquele número. Por exemplo, .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema:
  • Temos C(12, 8) = 12!8! times (12 - 8)! = 12!8! times 4! tópicos (ou seja, 12 questões disponíveis).
  • Queremos escolher questões para a prova.
Então, substituindo na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular isso passo a passo. Sabemos que:
12! = 12 times 11 times 10 times 9 times 8!
Então, podemos simplificar a expressão:
C(12, 8) = 12 times 11 times 10 times 9 times 8!8! times 4! = 12 times 11 times 10 times 94!
E como C(12, 8) = 12 times 11 times 10 times 924 , temos:

Passo 5

Vamos fazer as contas:
12 times 11 = 132
132 times 10 = 1320
1320 times 9 = 11880
1188024 = 495

Resposta

O professor pode elaborar 495 provas diferentes.

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