Em uma disciplina há 12 tópicos e um professor elaborou uma questão para cada tópico. Se este professor quer que a prova final tenha 8 questões e que os tópicos não se repitam, quantas provas diferentes este professor poderá elaborar? Obs.: Se duas provas possuem as mesmas questões então elas são iguais.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma disciplina com 12 tópicos, e para cada tópico o professor criou uma questão. Ele quer montar uma prova final com 8 questões, mas cada questão tem que ser de um tópico diferente, ou seja, sem repetir tópicos. A gente precisa descobrir de quantas formas diferentes o professor pode montar essa prova. Para resolver isso, vamos usar um conceito de combinação, que trata de selecionar itens sem se importar com a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é combinação. Combinação é uma maneira de escolher itens de um grupo maior onde a ordem não importa. A fórmula para calcular combinações de
itens escolhendo
é:
Aqui, o
representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até aquele número. Por exemplo,
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema:
- Temos
tópicos (ou seja, 12 questões disponíveis). - Queremos escolher
questões para a prova.
Então, substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular isso passo a passo. Sabemos que:
Então, podemos simplificar a expressão:
E como
, temos:
Passo 5
Vamos fazer as contas:
Resposta
O professor pode elaborar 495 provas diferentes.