Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, entre as dez, duas não podem ser combinadas porque produzem uma mistura explosiva?

Passo 1

Então, a gente tem um químico que possui 10 tipos de substâncias e quer saber de quantos jeitos ele pode escolher 6 dessas substâncias. Mas tem um detalhe: entre as 10, há duas que não podem ser combinadas porque dão uma mistura explosiva. Vamos usar o conteúdo de combinações da combinatória para resolver isso. Para isso, a gente vai precisar entender como calcular combinações e depois aplicar uma regra para tirar as combinações que não são permitidas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o total de maneiras de escolher 6 substâncias dentre as 10 sem nenhuma restrição. Isso é feito usando a combinação, que conta quantas maneiras diferentes podemos selecionar um grupo sem se importar com a ordem. A fórmula da combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aqui, C(10, 6) = 10!6! times 4! = 210 e . Então:
Isso significa que, sem restrições, existem 210 maneiras de escolher 6 substâncias das 10 disponíveis.

Passo 3

Agora, precisamos descontar as combinações que incluem as duas substâncias que não podem ser combinadas. Se a gente escolher essas duas substâncias específicas, então restam 4 substâncias para escolher das outras 8. Então, vamos calcular quantas combinações incluem essas duas substâncias.
Usando a mesma fórmula:
C(8, 4) = 8!4! times 4! = 70
Então, há 70 combinações que incluem as duas substâncias que não podem ser misturadas.

Passo 4

Para encontrar o número de maneiras válidas de escolher 6 substâncias sem causar uma mistura explosiva, a gente subtrai as combinações proibidas do total de combinações:
210 - 70 = 140

Resposta

O químico pode associar as 6 substâncias de 140 modos diferentes sem risco de uma mistura explosiva.

Exercícios relacionados