Um disco fino não condutor de massa m e raio R tem uma carga superficial uniforme por unidade de área sigma e gira com velocidade omega em torno de seu eixo. Encontre o momento magnético do disco.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um disco não condutor com massa e raio , carregado de forma uniforme com densidade de carga superficial . Esse disco está girando com velocidade angular . Nosso objetivo é encontrar o momento magnético desse disco.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, especialmente relacionados ao momento magnético de distribuições de corrente. Vamos também precisar entender como a carga em movimento gera uma corrente elétrica.

Passo 2

Como o disco está girando, as cargas elétricas na superfície do disco estão em movimento circular, o que efetivamente cria uma corrente elétrica. Para encontrar o momento magnético, primeiro precisamos determinar essa corrente.
A densidade de carga superficial é Q = sigma cdot Área = sigma cdot pi R^2 , então a carga total no disco é:
Á

Passo 3

As cargas estão se movendo com uma velocidade tangencial devido à rotação do disco. A velocidade tangencial v = omega r em um ponto a uma distância do centro é:
Essa velocidade gera uma corrente elétrica. Para encontrar a corrente total, consideramos que a corrente é a carga que passa por um ponto por unidade de tempo.

Passo 4

A corrente diferencial dI = sigma v cdot 2pi r cdot dr = sigma omega r cdot 2pi r cdot dr = 2pi sigma omega r^2 dr em um anel de raio I = integral0^R 2pi sigma omega r^2 dr = 2pi sigma omega [ r^33 ]0^R = 23 pi sigma omega R^3 e espessura é dada por:
Para encontrar a corrente total , integramos de a :

Passo 5

Agora que temos a corrente total, podemos calcular o momento magnético mu = I cdot A usando a fórmula:
mu = 23 pi sigma omega R^3 cdot pi R^2 = 23 pi^2 sigma omega R^5
onde é a área do disco. A área do disco é , então:

Resposta

O momento magnético do disco é:
mu = 23 pi^2 sigma omega R^5

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