Um disco fino não condutor de massa
e raio
tem uma carga superficial uniforme por unidade de área
e gira com velocidade
em torno de seu eixo. Encontre o momento magnético do disco.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um disco não condutor com massa
e raio
, carregado de forma uniforme com densidade de carga superficial
. Esse disco está girando com velocidade angular
. Nosso objetivo é encontrar o momento magnético desse disco.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, especialmente relacionados ao momento magnético de distribuições de corrente. Vamos também precisar entender como a carga em movimento gera uma corrente elétrica.
Passo 2
Como o disco está girando, as cargas elétricas na superfície do disco estão em movimento circular, o que efetivamente cria uma corrente elétrica. Para encontrar o momento magnético, primeiro precisamos determinar essa corrente.
A densidade de carga superficial é
, então a carga total
no disco é:
Passo 3
As cargas estão se movendo com uma velocidade tangencial devido à rotação do disco. A velocidade tangencial
em um ponto a uma distância
do centro é:
Essa velocidade gera uma corrente elétrica. Para encontrar a corrente total, consideramos que a corrente
é a carga que passa por um ponto por unidade de tempo.
Passo 4
A corrente diferencial
em um anel de raio
e espessura
é dada por:
Para encontrar a corrente total
, integramos de
a
:
Passo 5
Agora que temos a corrente total, podemos calcular o momento magnético
usando a fórmula:
onde
é a área do disco. A área do disco é
, então:
Resposta
O momento magnético do disco é: