Demonstre a relação imagem-objeto 1p+1p^prime=1f para um espelho esférico de raio R tal que o foco seja dado por f=R / 2. O objeto está localizado em p e a imagem em p^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente demonstrar a relação entre a distância do objeto ( p), a distância da imagem ( p^prime) e a distância focal ( f) de um espelho esférico. A fórmula que queremos provar é 1p + 1p^prime = 1f. Sabemos também que o foco f é igual a metade do raio do espelho, ou seja, f = R2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de óptica geométrica e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um espelho esférico, o ponto onde os raios paralelos se encontram após refletirem é o foco. Então, o foco f está a uma distância igual a metade do raio ( R) do espelho. Isso já nos dá a relação f = R2.

Passo 3

Agora, vamos considerar um objeto colocado a uma distância p do espelho. Quando a luz desse objeto atinge o espelho, ela reflete e forma uma imagem a uma distância p^prime do espelho. Para relacionar p, p^prime e f, vamos usar a trigonometria nas triângulos formados pelos raios de luz.

Passo 4

Desenhando um diagrama, temos dois triângulos semelhantes: um formado pela distância do objeto ao espelho e a altura do objeto, e outro formado pela distância da imagem ao espelho e a altura da imagem. Como os triângulos são semelhantes, as razões dos lados correspondentes são iguais.

Passo 5

Isso nos leva a uma relação proporcional entre as distâncias e as alturas. Aplicando a trigonometria, conseguimos estabelecer que a soma dos inversos das distâncias do objeto e da imagem é igual ao inverso da distância focal. Ou seja:
1p + 1p^prime = 1f

Resposta

A relação entre a distância do objeto, da imagem e a distância focal para um espelho esférico é 1p + 1p^prime = 1f.

Exercícios relacionados