Demonstre a relação imagem-objeto para um espelho esférico de raio tal que o foco seja dado por . O objeto está localizado em e a imagem em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente demonstrar a relação entre a distância do objeto ( ), a distância da imagem ( ) e a distância focal ( ) de um espelho esférico. A fórmula que queremos provar é . Sabemos também que o foco é igual a metade do raio do espelho, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de óptica geométrica e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um espelho esférico, o ponto onde os raios paralelos se encontram após refletirem é o foco. Então, o foco está a uma distância igual a metade do raio ( ) do espelho. Isso já nos dá a relação .

Passo 3

Agora, vamos considerar um objeto colocado a uma distância do espelho. Quando a luz desse objeto atinge o espelho, ela reflete e forma uma imagem a uma distância do espelho. Para relacionar , e , vamos usar a trigonometria nas triângulos formados pelos raios de luz.

Passo 4

Desenhando um diagrama, temos dois triângulos semelhantes: um formado pela distância do objeto ao espelho e a altura do objeto, e outro formado pela distância da imagem ao espelho e a altura da imagem. Como os triângulos são semelhantes, as razões dos lados correspondentes são iguais.

Passo 5

Isso nos leva a uma relação proporcional entre as distâncias e as alturas. Aplicando a trigonometria, conseguimos estabelecer que a soma dos inversos das distâncias do objeto e da imagem é igual ao inverso da distância focal. Ou seja:

Resposta

A relação entre a distância do objeto, da imagem e a distância focal para um espelho esférico é .

Exercícios relacionados

Qual a menor altura de um espelho plano vertical para que uma pessoa com altura possa ver sua imagem completa no espelho?
Calcule o potencial eletrostático, partindo dos momentos de monopolo, dipolo e quadrupolo, para dois anéis concêntricos, coplanares, de raios e , possuindo cargas respectivamente iguais a e , uniformemente distribuídas. Sugestão: considere os anéis no plano xy, sendo z o eixo de simetria.
Determine sob quais condiçőes a relação imagemobjeto do problema anterior para um espelho esférico se reduz à equação de um espelho plano. Qual a distância focal e a ampliação do espelho plano?
Um disco fino não condutor de massa e raio tem uma carga superficial uniforme por unidade de área e gira com velocidade em torno de seu eixo. Encontre o momento magnético do disco.