Demonstre a relação imagem-objeto
para um espelho esférico de raio
tal que o foco seja dado por
. O objeto está localizado em
e a imagem em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente demonstrar a relação entre a distância do objeto (
), a distância da imagem (
) e a distância focal (
) de um espelho esférico. A fórmula que queremos provar é
. Sabemos também que o foco
é igual a metade do raio do espelho, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de óptica geométrica e trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um espelho esférico, o ponto onde os raios paralelos se encontram após refletirem é o foco. Então, o foco
está a uma distância igual a metade do raio (
) do espelho. Isso já nos dá a relação
.
Passo 3
Agora, vamos considerar um objeto colocado a uma distância
do espelho. Quando a luz desse objeto atinge o espelho, ela reflete e forma uma imagem a uma distância
do espelho. Para relacionar
,
e
, vamos usar a trigonometria nas triângulos formados pelos raios de luz.
Passo 4
Desenhando um diagrama, temos dois triângulos semelhantes: um formado pela distância do objeto ao espelho e a altura do objeto, e outro formado pela distância da imagem ao espelho e a altura da imagem. Como os triângulos são semelhantes, as razões dos lados correspondentes são iguais.
Passo 5
Isso nos leva a uma relação proporcional entre as distâncias e as alturas. Aplicando a trigonometria, conseguimos estabelecer que a soma dos inversos das distâncias do objeto e da imagem é igual ao inverso da distância focal. Ou seja:
Resposta
A relação entre a distância do objeto, da imagem e a distância focal para um espelho esférico é
.
Exercícios relacionados
Qual a menor altura de um espelho plano vertical para que uma pessoa com altura
possa ver sua imagem completa no espelho?
Calcule o potencial eletrostático, partindo dos momentos de monopolo, dipolo e quadrupolo, para dois anéis concêntricos, coplanares, de raios
e
, possuindo cargas respectivamente iguais a
e
, uniformemente distribuídas. Sugestão: considere os anéis no plano xy, sendo z o eixo de simetria.
Determine sob quais condiçőes a relação imagemobjeto do problema anterior para um espelho esférico se reduz à equação de um espelho plano. Qual a distância focal e a ampliação do espelho plano?
Um disco fino não condutor de massa
e raio
tem uma carga superficial uniforme por unidade de área
e gira com velocidade
em torno de seu eixo. Encontre o momento magnético do disco.