Demonstre a relação imagem-objeto
para um espelho esférico de raio
tal que o foco seja dado por
. O objeto está localizado em
e a imagem em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente demonstrar a relação entre a distância do objeto (
), a distância da imagem (
) e a distância focal (
) de um espelho esférico. A fórmula que queremos provar é
. Sabemos também que o foco
é igual a metade do raio do espelho, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de óptica geométrica e trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um espelho esférico, o ponto onde os raios paralelos se encontram após refletirem é o foco. Então, o foco
está a uma distância igual a metade do raio (
) do espelho. Isso já nos dá a relação
.
Passo 3
Agora, vamos considerar um objeto colocado a uma distância
do espelho. Quando a luz desse objeto atinge o espelho, ela reflete e forma uma imagem a uma distância
do espelho. Para relacionar
,
e
, vamos usar a trigonometria nas triângulos formados pelos raios de luz.
Passo 4
Desenhando um diagrama, temos dois triângulos semelhantes: um formado pela distância do objeto ao espelho e a altura do objeto, e outro formado pela distância da imagem ao espelho e a altura da imagem. Como os triângulos são semelhantes, as razões dos lados correspondentes são iguais.
Passo 5
Isso nos leva a uma relação proporcional entre as distâncias e as alturas. Aplicando a trigonometria, conseguimos estabelecer que a soma dos inversos das distâncias do objeto e da imagem é igual ao inverso da distância focal. Ou seja:
Resposta
A relação entre a distância do objeto, da imagem e a distância focal para um espelho esférico é
.