Um disco gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso, com aceleração angular constante, até alcançar a rotação de 20 pi (rad/s). Depois de completar 120 pi (rad), a sua velocidade angular é de 30 pi ( rad / s ).
(b) Calcule o tempo necessário para completar 120 pi (rad).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre o movimento de rotação de um disco que parte do repouso e acelera angularmente de forma constante até atingir uma certa velocidade. A gente vai trabalhar com Cinemática Rotacional, usando conceitos como velocidade angular, aceleração angular e deslocamento angular. Para resolver, vamos precisar aplicar as equações do movimento uniformemente variado rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Velocidade angular inicial, rad/s (porque parte do repouso).
  • Velocidade angular final após a aceleração, rad/s.
  • Deslocamento angular total, rad.
  • Velocidade angular final após o deslocamento, rad/s.
Queremos encontrar o tempo necessário para completar rad.

Passo 3

Vamos dividir o movimento em duas partes:
  1. Primeira fase: aceleração constante de até rad/s.
  2. Segunda fase: aceleração continua de até rad/s durante um deslocamento angular de rad.
Mas parece que há uma aceleração constante durante todo o percurso até atingir rad/s. Para simplificar, vamos considerar que a aceleração é constante durante todo o movimento até atingir o deslocamento de rad.

Passo 4

Vamos usar a segunda equação da cinemática rotacional para encontrar o tempo:
theta = omega0 t + 12 alpha t^2
Onde:
  • theta = 12 alpha t^2 é o deslocamento angular,
  • é a velocidade angular inicial,
  • é a aceleração angular,
  • é o tempo.
Sabemos que , então a equação simplifica para:

Passo 5

Também podemos usar a relação entre velocidade angular final, inicial, aceleração angular e tempo:
omega = omega0 + alpha t
Como omega = alpha t , temos:
alpha = omegat
Queremos encontrar , então reorganizando:

Passo 6

Agora, vamos substituir theta = 12 ( omegat ) t^2 = 12 omega t na equação do deslocamento:
t = 2thetaomega
Rearranjando para encontrar :

Passo 7

Sabemos que ao completar t = 2 times 120pi30pi = 240pi30pi = 8 segundos rad, a velocidade angular é rad/s. Então, substituindo na equação:

Resposta

O tempo necessário para completar rad é 8 segundos.

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