Um disco de papelão de 20 cm de diâmetro será utilizado para construir dois copos cônicos de mesmas dimensões. Para isso, corta-se o disco ao meio e cola-se o segmento OP ao segmento OQ, sendo O o centro do disco, P e Q pontos diametralmente opostos e PQ o segmento que representa o corte do disco. Dessa forma, a altura de cada copo cônico, em centímetros, será?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem um disco de papelão com 20 cm de diâmetro. Esse disco vai ser cortado ao meio para formar dois copos cônicos iguais. Precisamos descobrir qual será a altura de cada copo depois de montar os cones.

Passo 2

Primeiro, vamos entender algumas coisas sobre círculos e cones. Quando cortamos o disco ao meio, criamos um setor com um ângulo de 180 graus, que é meio círculo. A circunferência completa do disco original é dada por $ C = \pi \times d $, onde $ d $ é o diâmetro. Como o diâmetro é 20 cm, a circunferência completa fica $ C = \pi \times 20 = 20\pi $ cm.

Passo 3

Como cortamos o disco ao meio, o comprimento do arco do setor que vamos usar para fazer o cone é metade da circunferência total. Então, o comprimento do arco será:
Carco = 20pi2 = 10pi cm
Esse comprimento do arco será a circunferência da base do cone. A circunferência da base do cone é dada por $ C_{base} = 2\pi r $, onde $ r $ é o raio da base do cone. Igualando as duas expressões:
Cbase = 2pi r
r

Passo 4

Agora, sabemos que a “lateral” do setor cortado, que é o raio do disco original, se torna a geratriz do cone. O raio do disco original é 10 cm, então a geratriz ($ l $) do cone é 10 cm.
Para encontrar a altura ($ h $) do cone, usamos o teorema de Pitágoras, que relaciona a altura, o raio da base e a geratriz:
l
Substituindo os valores que temos:
h
l^2 = h^2 + r^2
10^2 = h^2 + 5^2
100 = h^2 + 25
h^2 = 100 - 25
h^2 = 75
h = raiz75

Resposta

A altura de cada copo cônico será aproximadamente 8,66 centímetros.

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