Um disco de papelão de 20 cm de diâmetro será utilizado para construir dois copos cônicos de mesmas dimensões. Para isso, corta-se o disco ao meio e cola-se o segmento OP ao segmento OQ, sendo O o centro do disco, P e Q pontos diametralmente opostos e PQ o segmento que representa o corte do disco. Dessa forma, a altura de cada copo cônico, em centímetros, será?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem um disco de papelão com 20 cm de diâmetro. Esse disco vai ser cortado ao meio para formar dois copos cônicos iguais. Precisamos descobrir qual será a altura de cada copo depois de montar os cones.
Passo 2
Primeiro, vamos entender algumas coisas sobre círculos e cones. Quando cortamos o disco ao meio, criamos um setor com um ângulo de 180 graus, que é meio círculo. A circunferência completa do disco original é dada por $ C = \pi \times d $, onde $ d $ é o diâmetro. Como o diâmetro é 20 cm, a circunferência completa fica $ C = \pi \times 20 = 20\pi $ cm.
Passo 3
Como cortamos o disco ao meio, o comprimento do arco do setor que vamos usar para fazer o cone é metade da circunferência total. Então, o comprimento do arco será:
Esse comprimento do arco será a circunferência da base do cone. A circunferência da base do cone é dada por $ C_{base} = 2\pi r $, onde $ r $ é o raio da base do cone. Igualando as duas expressões:
Passo 4
Agora, sabemos que a “lateral” do setor cortado, que é o raio do disco original, se torna a geratriz do cone. O raio do disco original é 10 cm, então a geratriz ($ l $) do cone é 10 cm.
Para encontrar a altura ($ h $) do cone, usamos o teorema de Pitágoras, que relaciona a altura, o raio da base e a geratriz:
Substituindo os valores que temos:
Resposta
A altura de cada copo cônico será aproximadamente 8,66 centímetros.