Um disco plano de raio
está carregado com uma densidade superficial unitorme de cargas positivas. Calcule o potencial em um ponto que passa pelo centro do disco.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um disco plano de raio $ R $ carregado com uma densidade superficial de carga positiva uniforme, chamada de $ \sigma_0 $. A missão aqui é calcular o potencial elétrico em um ponto que está exatamente no centro desse disco. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre como calcular o potencial elétrico devido a uma distribuição de cargas. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais e como aplicá-las a distribuições contínuas de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico $ V $ em um ponto devido a uma distribuição de carga é dado pela fórmula:
Aqui, $ \sigma $ é a densidade superficial de carga, $ r $ é a distância entre um elemento de área $ dA $ no disco e o ponto onde estamos calculando o potencial, e $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Como queremos calcular o potencial no centro do disco, a distância $ r $ de qualquer ponto no disco até o centro é simplesmente a distância radial $ \rho $ naquele ponto. Então, podemos reescrever a expressão do potencial como:
Passo 4
Vamos agora mudar para coordenadas polares, já que estamos lidando com um disco. Em coordenadas polares, um elemento de área $ dA $ é $ \rho , d\rho , d\theta $. Substituindo isso na integral, temos:
Perceba que $ \frac{1}{\rho} \cdot \rho = 1 $, o que simplifica bastante a integração.
Passo 5
Simplificando a integral, ficamos com:
Primeiro, integramos em relação a $ \rho $:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
Substituindo de volta na expressão do potencial:
Passo 7
Simplificando os termos:
Resposta
O potencial no centro do disco é dado por