As seguintes equações de onda:
& E=E0 cos (k x-omega t) y & B=B0 cos (k x-omega t) z
são solução das equações de Maxwell unicamente baixo as seguintes condições:
B0=E0c c=1 / raiz epsilon0 mu0
Use a equação de Faraday para demostrar a primeira condição, B0=E0c, depois, usando o resultado obtido na aula B0=E0 epsilon0 mu0 c, demostre a segunda condição: c=1 / raiz epsilon0 mu0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas equações de onda para os campos elétrico E e magnético B:
& E=E0 cos (k x-omega t) y & B=B0 cos (k x-omega t) z
A questão quer que a gente use a equação de Faraday para provar que B0 = E0c e, depois, usando B0 = E0 epsilon0 mu0 c, mostrar que c = 1raizepsilon0 mu0. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as equações de Maxwell e como elas se aplicam às ondas eletromagnéticas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Equação de Faraday, que é uma das equações de Maxwell. Ela relaciona o campo elétrico e o campo magnético em uma onda eletromagnética. A equação de Faraday é dada por:
nabla times E = -partial Bpartial t
Isso significa que a variação no tempo do campo magnético gera um campo elétrico circulante.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional do campo elétrico E. Dado que:
E = E0 cos(kx - omega t) y
O rotacional em coordenadas cartesianas é:
nabla times E = ( partial Ezpartial y - partial Eypartial z ) x + ( partial Expartial z - partial Ezpartial x ) y + ( partial Eypartial x - partial Expartial y ) z
Como E só tem componente y, as outras derivadas desaparecem, ficando:
nabla times E = partial Eypartial x z
Calculando a derivada:
partial Eypartial x = -E0 k sin(kx - omega t)
Portanto:
nabla times E = -E0 k sin(kx - omega t) z

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada temporal do campo magnético B:
B = B0 cos(kx - omega t) z
A derivada em relação ao tempo é:
partial Bpartial t = -B0 omega sin(kx - omega t) z

Passo 5

Substituindo os resultados na Equação de Faraday:
nabla times E = -partial Bpartial t
- E0 k sin(kx - omega t) z = -(-B0 omega sin(kx - omega t) z)
Simplificando os sinais:
- E0 k sin(kx - omega t) = B0 omega sin(kx - omega t)
Podemos cancelar sin(kx - omega t) dos dois lados (desde que não seja zero):
- E0 k = B0 omega

Passo 6

Resolvendo para B0:
B0 = -E0 komega
A relação entre k, omega e a velocidade da luz c em uma onda eletromagnética é:
omega = c k
Substituindo omega na equação de B0:
B0 = -E0 kc k = -E0c
Como estamos tratando de amplitudes, podemos desprezar o sinal negativo:
B0 = E0c

Passo 7

Agora, vamos usar o resultado dado na aula:
B0 = E0 epsilon0 mu0 c
Sabemos que B0 = E0c, então podemos igualar as duas expressões:
E0c = E0 epsilon0 mu0 c
Podemos cancelar E0 dos dois lados:
1c = epsilon0 mu0 c

Passo 8

Resolvendo para c:
epsilon0 mu0 c^2 = 1
c^2 = 1epsilon0 mu0
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
c = 1raizepsilon0 mu0

Resposta

Demonstramos que B0 = E0c usando a Equação de Faraday e, a partir disso, mostramos que c = 1raizepsilon0 mu0. Assim, as condições necessárias para que as equações de onda sejam soluções das equações de Maxwell estão comprovadas.

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