As seguintes equações de onda:
são solução das equações de Maxwell unicamente baixo as seguintes condições:
Use a equação de Faraday para demostrar a primeira condição,
, depois, usando o resultado obtido na aula
, demostre a segunda condição:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas equações de onda para os campos elétrico
e magnético
:
A questão quer que a gente use a equação de Faraday para provar que
e, depois, usando
, mostrar que
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as equações de Maxwell e como elas se aplicam às ondas eletromagnéticas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Equação de Faraday, que é uma das equações de Maxwell. Ela relaciona o campo elétrico e o campo magnético em uma onda eletromagnética. A equação de Faraday é dada por:
Isso significa que a variação no tempo do campo magnético gera um campo elétrico circulante.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional do campo elétrico
. Dado que:
O rotacional em coordenadas cartesianas é:
Como
só tem componente
, as outras derivadas desaparecem, ficando:
Calculando a derivada:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada temporal do campo magnético
:
A derivada em relação ao tempo é:
Passo 5
Substituindo os resultados na Equação de Faraday:
Simplificando os sinais:
Podemos cancelar
dos dois lados (desde que não seja zero):
Passo 6
Resolvendo para
:
A relação entre
,
e a velocidade da luz
em uma onda eletromagnética é:
Substituindo
na equação de
:
Como estamos tratando de amplitudes, podemos desprezar o sinal negativo:
Passo 7
Agora, vamos usar o resultado dado na aula:
Sabemos que
, então podemos igualar as duas expressões:
Podemos cancelar
dos dois lados:
Passo 8
Resolvendo para
:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
Demonstramos que
usando a Equação de Faraday e, a partir disso, mostramos que
. Assim, as condições necessárias para que as equações de onda sejam soluções das equações de Maxwell estão comprovadas.