Use o teorema da divergência para escrever a lei de Gauss
na forma diferencial.
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver um exercício de eletrostática usando o Teorema da Divergência. O enunciado pede para transformar a Lei de Gauss da forma integral para a forma diferencial. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema da Divergência e como ele relaciona integrais de superfícies com integrais de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Lei de Gauss na forma integral. Ela diz que a integral do campo elétrico
através de uma superfície fechada
é igual à carga elétrica total
dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
. Matemáticamente, fica assim:
Passo 3
Agora, o Teorema da Divergência nos ajuda a relacionar essa integral de superfície com uma integral de volume. Ele afirma que:
Ou seja, a integral da divergência de
sobre o volume
é igual à integral de
na superfície que envolve esse volume.
Passo 4
Substituindo a expressão da Lei de Gauss na forma integral pela expressão do Teorema da Divergência, temos:
Passo 5
Sabemos que a carga elétrica
dentro do volume
pode ser expressa como a integral da densidade de carga
sobre esse volume:
Passo 6
Substituindo essa expressão na equação anterior, temos:
Passo 7
Como as duas integrais são feitas sobre o mesmo volume
, podemos igualar as funções dentro das integrais:
Resposta
A forma diferencial da Lei de Gauss é: