Use o teorema da divergência para escrever a lei de Gauss ointS E cdot d S=Q enc epsilon0 na forma diferencial.

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício de eletrostática usando o Teorema da Divergência. O enunciado pede para transformar a Lei de Gauss da forma integral para a forma diferencial. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema da Divergência e como ele relaciona integrais de superfícies com integrais de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Lei de Gauss na forma integral. Ela diz que a integral do campo elétrico E através de uma superfície fechada S é igual à carga elétrica total Qenc dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo epsilon0. Matemáticamente, fica assim:
ointS E cdot dS = Qencepsilon0

Passo 3

Agora, o Teorema da Divergência nos ajuda a relacionar essa integral de superfície com uma integral de volume. Ele afirma que:
ointS E cdot dS = integralV nabla cdot E , dV
Ou seja, a integral da divergência de E sobre o volume V é igual à integral de E na superfície que envolve esse volume.

Passo 4

Substituindo a expressão da Lei de Gauss na forma integral pela expressão do Teorema da Divergência, temos:
integralV nabla cdot E , dV = Qencepsilon0

Passo 5

Sabemos que a carga elétrica Qenc dentro do volume V pode ser expressa como a integral da densidade de carga rho sobre esse volume:
Qenc = integralV rho , dV

Passo 6

Substituindo essa expressão na equação anterior, temos:
integralV nabla cdot E , dV = 1epsilon0 integralV rho , dV

Passo 7

Como as duas integrais são feitas sobre o mesmo volume V, podemos igualar as funções dentro das integrais:
nabla cdot E = rhoepsilon0

Resposta

A forma diferencial da Lei de Gauss é:
nabla cdot E = rhoepsilon0

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