(2,0) Um disco de plástico de raio
, é carregado na face superior com uma densidade superficial de carga uniforme
; em seguida, metade do disco é removido. A figura ao lado mostra o pedaço remanescente. Com
, qual é o potencial produzido pela metade remanescente no ponto
, distante
do centro do disco original?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco de plástico com raio $ R = 70,0 , cm $ que foi carregado uniformemente na face superior com uma densidade superficial de carga $ \sigma = 8,85 \times 10^{-12} , C/m^2 $. Depois, removemos metade desse disco, ficando com uma metade remanescente. Precisamos calcular o potencial elétrico $ V $ produzido por essa metade no ponto $ P $, que está a uma distância $ D = 15 , cm $ do centro do disco original. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula para o potencial elétrico devido a uma distribuição de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as medidas para o Sistema Internacional de Unidades (SI):
- Raio do disco: $ R = 70,0 , cm = 0,70 , m $
- Distância do ponto $ P $: $ D = 15 , cm = 0,15 , m $
Passo 3
Sabemos que o potencial elétrico $ V $ devido a uma superfície carregada é dado pela integral:
onde:
- $ \sigma $ é a densidade superficial de carga,
- $ dA $ é um elemento de área,
- $ r $ é a distância entre o elemento de área e o ponto $ P $,
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, dada por $ \varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} , C^2/(N \cdot m^2) $.
Passo 4
Vamos considerar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração. O disco está no plano $ z = 0 $, e o ponto $ P $ está no eixo $ z $ a uma distância $ D $ acima do disco. A distância $ r $ entre um elemento de área no disco e o ponto $ P $ é dada por:
onde $ \rho $ é a coordenada radial no disco.
Passo 5
A área diferencial em coordenadas cilíndricas é $ dA = \rho , d\rho , d\theta $. Como a carga está distribuída apenas na metade do disco, o ângulo $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \pi $:
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a $ \rho $:
Passo 7
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
Passo 8
Substituindo as integrais de volta na expressão do potencial:
Passo 9
Agora, substituímos os valores numéricos:
Então,
Resposta
O potencial no ponto $ P $ é aproximadamente $ V \approx 0,142 , V $.