(2,0) Um disco de plástico de raio R=70,0 cm, é carregado na face superior com uma densidade superficial de carga uniforme sigma=8,85 times 10^-12 C / m^2; em seguida, metade do disco é removido. A figura ao lado mostra o pedaço remanescente. Com Vinfty=0, qual é o potencial produzido pela metade remanescente no ponto P, distante D=15 cm do centro do disco original?
l c0=8,85 times 10^-12 C^2 / N cdot m^2 1t10=8,00 times 10^9 N cdot m^2 / C^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco de plástico com raio $ R = 70,0 , cm $ que foi carregado uniformemente na face superior com uma densidade superficial de carga $ \sigma = 8,85 \times 10^{-12} , C/m^2 $. Depois, removemos metade desse disco, ficando com uma metade remanescente. Precisamos calcular o potencial elétrico $ V $ produzido por essa metade no ponto $ P $, que está a uma distância $ D = 15 , cm $ do centro do disco original. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula para o potencial elétrico devido a uma distribuição de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as medidas para o Sistema Internacional de Unidades (SI):
  • Raio do disco: $ R = 70,0 , cm = 0,70 , m $
  • Distância do ponto $ P $: $ D = 15 , cm = 0,15 , m $

Passo 3

Sabemos que o potencial elétrico $ V $ devido a uma superfície carregada é dado pela integral:
V
onde:
  • $ \sigma $ é a densidade superficial de carga,
  • $ dA $ é um elemento de área,
  • $ r $ é a distância entre o elemento de área e o ponto $ P $,
  • $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, dada por $ \varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} , C^2/(N \cdot m^2) $.

Passo 4

Vamos considerar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração. O disco está no plano $ z = 0 $, e o ponto $ P $ está no eixo $ z $ a uma distância $ D $ acima do disco. A distância $ r $ entre um elemento de área no disco e o ponto $ P $ é dada por:
z = 0
onde $ \rho $ é a coordenada radial no disco.

Passo 5

A área diferencial em coordenadas cilíndricas é $ dA = \rho , d\rho , d\theta $. Como a carga está distribuída apenas na metade do disco, o ângulo $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \pi $:
dA = rho , drho , dtheta

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a $ \rho $:
rho

Passo 7

Agora, integramos em relação a $ \theta $:
theta

Passo 8

Substituindo as integrais de volta na expressão do potencial:
V = sigma4pi varepsilon0 cdot pi cdot (raizR^2 + D^2 - D) = sigma4 varepsilon0 (raizR^2 + D^2 - D)

Passo 9

Agora, substituímos os valores numéricos:
sigma = 8,85 times 10^-12 , C/m^2
varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/(N cdot m^2)
R = 0,70 , m, D = 0,15 , m
Então,
V = 8,85 times 10^-124 times 8,85 times 10^-12 (raiz0,70^2 + 0,15^2 - 0,15) = 14 (raiz0,49 + 0,0225 - 0,15)
= 14 (raiz0,5125 - 0,15) approx 14 (0,716 - 0,15) = 14 times 0,566 approx 0,1415 , V

Resposta

O potencial no ponto $ P $ é aproximadamente $ V \approx 0,142 , V $.

Exercícios relacionados