Um disco de raio R e massa M, roda sem deslizar por um plano inclinado a partir do repouso. Se o plano inclinado forma um ângulo theta com a horizontal, encontrar (a) A aceleração de translação do centro de massa do disco e a força de atrito estático entre o disco e o plano. (b) Se a altura do plano inclinado é h, encontrar a velocidade de translação do disco quando este sai do plano inclinado. © Esta velocidade é menor ou maior que na ausência de rolamento? justifique. O momento de inércia de um disco de massa M e raio R em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo centro do disco é M R^2 / 2. Não usar valor númerico para g. (20 pontos)

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre um disco com raio R e massa M que está rolando sem deslizar por um plano inclinado que forma um ângulo theta com a horizontal. Precisamos encontrar a aceleração do centro de massa do disco, a força de atrito estático, a velocidade quando sai do plano inclinado e comparar essa velocidade com a situação sem rolamento. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de dinâmica de rotação, como o momento de inércia e as leis de Newton aplicadas à translação e à rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no disco enquanto ele desce o plano inclinado:
  1. Peso ( mg): puxa o disco para baixo.
  2. Força normal ( N): perpendicular ao plano inclinado.
  3. Força de atrito estático ( f): impede que o disco deslize, permitindo que ele role sem deslizar.

Passo 3

Vamos decompor o peso em duas componentes:
  • Paralela ao plano: mg sintheta
  • Perpendicular ao plano: mg costheta
A força normal ( N) equilibra a componente perpendicular do peso:
N = mg costheta

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton para a translação (movimento linear) na direção paralela ao plano:
mg sintheta - f = Ma
Aqui, a é a aceleração do centro de massa do disco.

Passo 5

Agora, vamos considerar a rotação. A segunda lei de Newton para a rotação diz:
tau = I alpha
Onde tau é o torque, I é o momento de inércia e alpha é a aceleração angular.
Para o disco, o torque é gerado pela força de atrito:
tau = f R
E o momento de inércia dado é:
I = MR^22
Além disso, como o disco está rolando sem deslizar, a aceleração linear a e a aceleração angular alpha estão relacionadas por:
a = alpha R

Passo 6

Substituindo alpha na equação do torque:
f R = MR^22 cdot aR
f R = MR a2
f = M a2

Passo 7

Agora, voltamos à equação da translação e substituímos f:
mg sintheta - M a2 = Ma
Vamos resolver para a:
mg sintheta = Ma + M a2
mg sintheta = 3M a2
a = 2g sintheta3

Passo 8

Agora que temos a aceleração a, podemos encontrar a força de atrito f usando:
f = M a2
Substituindo a:
f = M2 cdot 2g sintheta3
f = M g sintheta3

Passo 9

Para a parte (b), queremos encontrar a velocidade do disco quando ele desce uma altura h. Podemos usar a conservação de energia. A energia potencial inicial se transforma em energia cinética de translação e de rotação:
mgh = 12 M v^2 + 12 I omega^2
Como a = alpha R e v = a t, e sabendo que omega = vR, substituímos I:
mgh = 12 M v^2 + 12 cdot MR^22 cdot (vR)^2
mgh = 12 M v^2 + 14 M v^2
mgh = 34 M v^2
v^2 = 4gh3
v = raiz4gh3

Passo 10

Por fim, na parte ©, comparamos a velocidade obtida com a situação onde o disco desliza sem rolar. Se desliza sem rolar, toda a energia potencial se transforma em energia cinética de translação:
mgh = 12 M v'^2
v' = raiz2gh
Comparando com a velocidade com rolamento:
v = raiz4gh3 < raiz2gh = v'

Resposta

(a) A aceleração do centro de massa é a = dfrac2g sintheta3 e a força de atrito estático é f = dfracMg sintheta3.
(b) A velocidade de translação do disco ao sair do plano inclinado é v = raizdfrac4gh3.
© Essa velocidade é menor que na ausência de rolamento, já que parte da energia potencial é usada para a rotação do disco, reduzindo a velocidade de translação.

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