Um disco de raio
e massa
, roda sem deslizar por um plano inclinado a partir do repouso. Se o plano inclinado forma um ângulo
com a horizontal, encontrar (a) A aceleração de translação do centro de massa do disco e a força de atrito estático entre o disco e o plano. (b) Se a altura do plano inclinado é
, encontrar a velocidade de translação do disco quando este sai do plano inclinado. © Esta velocidade é menor ou maior que na ausência de rolamento? justifique. O momento de inércia de um disco de massa
e raio
em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo centro do disco é
. Não usar valor númerico para
. (20 pontos)
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre um disco com raio
e massa
que está rolando sem deslizar por um plano inclinado que forma um ângulo
com a horizontal. Precisamos encontrar a aceleração do centro de massa do disco, a força de atrito estático, a velocidade quando sai do plano inclinado e comparar essa velocidade com a situação sem rolamento. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de dinâmica de rotação, como o momento de inércia e as leis de Newton aplicadas à translação e à rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no disco enquanto ele desce o plano inclinado:
- Peso (
): puxa o disco para baixo. - Força normal (
): perpendicular ao plano inclinado. - Força de atrito estático (
): impede que o disco deslize, permitindo que ele role sem deslizar.
Passo 3
Vamos decompor o peso em duas componentes:
- Paralela ao plano:
- Perpendicular ao plano:
A força normal (
) equilibra a componente perpendicular do peso:
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton para a translação (movimento linear) na direção paralela ao plano:
Aqui,
é a aceleração do centro de massa do disco.
Passo 5
Agora, vamos considerar a rotação. A segunda lei de Newton para a rotação diz:
Onde
é o torque,
é o momento de inércia e
é a aceleração angular.
Para o disco, o torque é gerado pela força de atrito:
E o momento de inércia dado é:
Além disso, como o disco está rolando sem deslizar, a aceleração linear
e a aceleração angular
estão relacionadas por:
Passo 6
Substituindo
na equação do torque:
Passo 7
Agora, voltamos à equação da translação e substituímos
:
Vamos resolver para
:
Passo 8
Agora que temos a aceleração
, podemos encontrar a força de atrito
usando:
Substituindo
Passo 9
Para a parte (b), queremos encontrar a velocidade do disco quando ele desce uma altura
. Podemos usar a conservação de energia. A energia potencial inicial se transforma em energia cinética de translação e de rotação:
Como
e
, e sabendo que
, substituímos
:
Passo 10
Por fim, na parte ©, comparamos a velocidade obtida com a situação onde o disco desliza sem rolar. Se desliza sem rolar, toda a energia potencial se transforma em energia cinética de translação:
Comparando com a velocidade com rolamento:
Resposta
(a) A aceleração do centro de massa é
e a força de atrito estático é
.
(b) A velocidade de translação do disco ao sair do plano inclinado é .
© Essa velocidade é menor que na ausência de rolamento, já que parte da energia potencial é usada para a rotação do disco, reduzindo a velocidade de translação.
(b) A velocidade de translação do disco ao sair do plano inclinado é
© Essa velocidade é menor que na ausência de rolamento, já que parte da energia potencial é usada para a rotação do disco, reduzindo a velocidade de translação.