Mostre como encontrar o campo elétrico no caso de distribuições de cargas contínuas para:
(A) um anel ou disco carregado de raio R (dica: use a força determinada no exercício 9 );
(B) uma placa infinita de cargas;
© uma casca esférica de raio
.
(A) um anel ou disco carregado de raio R (dica: use a força determinada no exercício 9 );
(B) uma placa infinita de cargas;
© uma casca esférica de raio
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. Precisamos encontrar o campo elétrico para três tipos de distribuições de carga contínua: (A) um anel ou disco carregado de raio
, (B) uma placa infinita de cargas e © uma casca esférica de raio
. Para isso, vamos usar princípios de eletrostática, como a Lei de Coulomb e a Lei de Gauss, além de integrar contribuições de pequenas partes da distribuição de carga para calcular o campo total.
Passo 2
Parte A: Campo Elétrico de um Anel Carregado de Raio
Primeiro, vamos focar no anel carregado. Imagina um anel com carga distribuída uniformemente. Queremos achar o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo do anel.
Passo 3
Para isso, vamos considerar um pequeno elemento de carga
no anel. A contribuição desse elemento para o campo elétrico no ponto de interesse pode ser calculada usando a Lei de Coulomb:
onde
é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde queremos o campo.
Passo 4
Devido à simetria do anel, as componentes horizontais dos campos elétricos de elementos opostos se cancelam, deixando apenas a componente vertical. Então, podemos integrar apenas essa componente para encontrar o campo total.
Passo 5
Após integrar sobre todo o anel, chegamos à expressão do campo elétrico no eixo:
onde
é a carga total do anel e
é a distância ao longo do eixo.
Passo 6
Parte B: Campo Elétrico de uma Placa Infinita de Cargas
Agora, vamos para a placa infinita. A grande vantagem aqui é a simetria planar que simplifica muito os cálculos usando a Lei de Gauss.
Passo 7
Escolhemos uma superfície gaussiana na forma de um cilindro que atravessa a placa. A Lei de Gauss nos diz que:
onde
é a carga dentro da superfície gaussiana.
Passo 8
Devido à simetria, o campo elétrico é perpendicular à placa e tem a mesma magnitude em ambos os lados. Assim, a integral simplifica para:
onde
é a densidade de carga superficial.
Passo 9
Resolvendo para
, temos o campo elétrico da placa infinita:
É importante notar que o campo é constante e não depende da distância da placa.
Passo 10
Parte C: Campo Elétrico de uma Casca Esférica de Raio
Por fim, vamos analisar a casca esférica. Aqui, usaremos novamente a Lei de Gauss, aproveitando a simetria esférica.
Passo 11
Para pontos fora da casca (
), escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio
. A Lei de Gauss nos dá:
onde
é a carga total na casca.
Passo 12
Como o campo é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana, a integral se simplifica para:
Resolvendo para
:
Esse é o campo externo, que se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro.
Passo 13
Para pontos dentro da casca (
), usando a mesma superfície gaussiana, percebemos que não há carga dentro da superfície. Assim, pelo teorema de Gauss:
Ou seja, não há campo elétrico dentro de uma casca esférica carregada uniformemente.
Resposta
Foram encontrados os seguintes campos elétricos:
(A) Para um anel carregado de raio
no eixo a uma distância
:
(B) Para uma placa infinita de carga com densidade superficial
:
© Para uma casca esférica de raio
e carga total
: