Mostre como encontrar o campo elétrico no caso de distribuições de cargas contínuas para:
(A) um anel ou disco carregado de raio R (dica: use a força determinada no exercício 9 );
(B) uma placa infinita de cargas;
© uma casca esférica de raio R.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. Precisamos encontrar o campo elétrico para três tipos de distribuições de carga contínua: (A) um anel ou disco carregado de raio , (B) uma placa infinita de cargas e © uma casca esférica de raio . Para isso, vamos usar princípios de eletrostática, como a Lei de Coulomb e a Lei de Gauss, além de integrar contribuições de pequenas partes da distribuição de carga para calcular o campo total.

Passo 2

Parte A: Campo Elétrico de um Anel Carregado de Raio
Primeiro, vamos focar no anel carregado. Imagina um anel com carga distribuída uniformemente. Queremos achar o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo do anel.

Passo 3

Para isso, vamos considerar um pequeno elemento de carga dE = 14piepsilon0 dqr^2 r no anel. A contribuição desse elemento para o campo elétrico no ponto de interesse pode ser calculada usando a Lei de Coulomb:
onde é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde queremos o campo.

Passo 4

Devido à simetria do anel, as componentes horizontais dos campos elétricos de elementos opostos se cancelam, deixando apenas a componente vertical. Então, podemos integrar apenas essa componente para encontrar o campo total.

Passo 5

Após integrar sobre todo o anel, chegamos à expressão do campo elétrico no eixo:
E = 14piepsilon0 Qx(x^2 + R^2)^3/2
onde é a carga total do anel e é a distância ao longo do eixo.

Passo 6

Parte B: Campo Elétrico de uma Placa Infinita de Cargas
Agora, vamos para a placa infinita. A grande vantagem aqui é a simetria planar que simplifica muito os cálculos usando a Lei de Gauss.

Passo 7

Escolhemos uma superfície gaussiana na forma de um cilindro que atravessa a placa. A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qencepsilon0
onde é a carga dentro da superfície gaussiana.

Passo 8

Devido à simetria, o campo elétrico é perpendicular à placa e tem a mesma magnitude em ambos os lados. Assim, a integral simplifica para:
2EA = sigma Aepsilon0
onde é a densidade de carga superficial.

Passo 9

Resolvendo para E = sigma2epsilon0 , temos o campo elétrico da placa infinita:
É importante notar que o campo é constante e não depende da distância da placa.

Passo 10

Parte C: Campo Elétrico de uma Casca Esférica de Raio
Por fim, vamos analisar a casca esférica. Aqui, usaremos novamente a Lei de Gauss, aproveitando a simetria esférica.

Passo 11

Para pontos fora da casca ( oint E cdot dA = Qepsilon0 ), escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio . A Lei de Gauss nos dá:
onde é a carga total na casca.

Passo 12

Como o campo é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana, a integral se simplifica para:
E cdot 4pi r^2 = Qepsilon0
Resolvendo para E = Q4piepsilon0 r^2 :
Esse é o campo externo, que se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro.

Passo 13

Para pontos dentro da casca ( E = 0 ), usando a mesma superfície gaussiana, percebemos que não há carga dentro da superfície. Assim, pelo teorema de Gauss:
Ou seja, não há campo elétrico dentro de uma casca esférica carregada uniformemente.

Resposta

Foram encontrados os seguintes campos elétricos:
(A) Para um anel carregado de raio E = 14piepsilon0 Qx(x^2 + R^2)^3/2 no eixo a uma distância E = sigma2epsilon0 :
E = Q4piepsilon0 r^2 & para r > R 0 & para r < R
(B) Para uma placa infinita de carga com densidade superficial :
© Para uma casca esférica de raio e carga total :

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