Mostre como encontrar o campo elétrico no caso de distribuições de cargas contínuas para:
(A) um anel ou disco carregado de raio R (dica: use a força determinada no exercício 9 );
(B) uma placa infinita de cargas;
© uma casca esférica de raio
.
(A) um anel ou disco carregado de raio R (dica: use a força determinada no exercício 9 );
(B) uma placa infinita de cargas;
© uma casca esférica de raio
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. Precisamos encontrar o campo elétrico para três tipos de distribuições de carga contínua: (A) um anel ou disco carregado de raio
, (B) uma placa infinita de cargas e © uma casca esférica de raio
. Para isso, vamos usar princípios de eletrostática, como a Lei de Coulomb e a Lei de Gauss, além de integrar contribuições de pequenas partes da distribuição de carga para calcular o campo total.
Passo 2
Parte A: Campo Elétrico de um Anel Carregado de Raio
Primeiro, vamos focar no anel carregado. Imagina um anel com carga distribuída uniformemente. Queremos achar o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo do anel.
Passo 3
Para isso, vamos considerar um pequeno elemento de carga
no anel. A contribuição desse elemento para o campo elétrico no ponto de interesse pode ser calculada usando a Lei de Coulomb:
onde
é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde queremos o campo.
Passo 4
Devido à simetria do anel, as componentes horizontais dos campos elétricos de elementos opostos se cancelam, deixando apenas a componente vertical. Então, podemos integrar apenas essa componente para encontrar o campo total.
Passo 5
Após integrar sobre todo o anel, chegamos à expressão do campo elétrico no eixo:
onde
é a carga total do anel e
é a distância ao longo do eixo.
Passo 6
Parte B: Campo Elétrico de uma Placa Infinita de Cargas
Agora, vamos para a placa infinita. A grande vantagem aqui é a simetria planar que simplifica muito os cálculos usando a Lei de Gauss.
Passo 7
Escolhemos uma superfície gaussiana na forma de um cilindro que atravessa a placa. A Lei de Gauss nos diz que:
onde
é a carga dentro da superfície gaussiana.
Passo 8
Devido à simetria, o campo elétrico é perpendicular à placa e tem a mesma magnitude em ambos os lados. Assim, a integral simplifica para:
onde
é a densidade de carga superficial.
Passo 9
Resolvendo para
, temos o campo elétrico da placa infinita:
É importante notar que o campo é constante e não depende da distância da placa.
Passo 10
Parte C: Campo Elétrico de uma Casca Esférica de Raio
Por fim, vamos analisar a casca esférica. Aqui, usaremos novamente a Lei de Gauss, aproveitando a simetria esférica.
Passo 11
Para pontos fora da casca (
), escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio
. A Lei de Gauss nos dá:
onde
é a carga total na casca.
Passo 12
Como o campo é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana, a integral se simplifica para:
Resolvendo para
:
Esse é o campo externo, que se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro.
Passo 13
Para pontos dentro da casca (
), usando a mesma superfície gaussiana, percebemos que não há carga dentro da superfície. Assim, pelo teorema de Gauss:
Ou seja, não há campo elétrico dentro de uma casca esférica carregada uniformemente.
Resposta
Foram encontrados os seguintes campos elétricos:
(A) Para um anel carregado de raio
no eixo a uma distância
:
(B) Para uma placa infinita de carga com densidade superficial
:
© Para uma casca esférica de raio
e carga total
:
Exercícios relacionados
O campo elétrico é definido em termos de
, uma pequena carga positiva. Se, em vez disso, a definição for em termos de uma pequena carga negativa de mesma intensidade, então, comparado com o campo original, o novo campo elétrico definido
(A) apontará no mesmo sentido e terá a mesma intensidade.
(B) apontará no sentido oposto, mas terá a mesma intensidade.
© apontará no mesmo sentido, mas terá uma diferente intensidade.
(D) apontará no sentido oposto e terá uma diferente intensidade.
Explique brevemente o motivo.
(A) apontará no mesmo sentido e terá a mesma intensidade.
(B) apontará no sentido oposto, mas terá a mesma intensidade.
© apontará no mesmo sentido, mas terá uma diferente intensidade.
(D) apontará no sentido oposto e terá uma diferente intensidade.
Explique brevemente o motivo.
Um disco de raio
tem uma densidade de carga uniforme
. (a) calcular o campo elétrico para os pontos do eixo do disco. (b) a que se reduz este resultado para pontos afastados do centro,
? © e para pontos bem próximos do centro do disco,
?
Uma carga pontual de
está
de distância de uma segunda carga pontual de
. Calcule a intensidade da força em cada carga. (Dica: lembre-se da conversão de unidades para o S.I.)
No começo da Aula 2 nós definimos, pela lei de Coulomb, a força devido a uma distribuição contínua de cargas positivas em um bastão de comprimento
. Defina agora, seguindo os mesmos princípios, a força devido a um anel e a um disco de cargas (esses desenvolvimentos são feitos no Capítulo 25 do nosso livro texto, páginas 12 e 13 , mas quero que vocês façam todos os passos detalhadamente como foi feito em sala para o bastão de cargas positivas. É possível usar o livro como um guia, disponibilizarei as páginas).