Mostre como encontrar o campo elétrico no caso de distribuições de cargas contínuas para:
(A) um anel ou disco carregado de raio R (dica: use a força determinada no exercício 9 );
(B) uma placa infinita de cargas;
© uma casca esférica de raio .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. Precisamos encontrar o campo elétrico para três tipos de distribuições de carga contínua: (A) um anel ou disco carregado de raio , (B) uma placa infinita de cargas e © uma casca esférica de raio . Para isso, vamos usar princípios de eletrostática, como a Lei de Coulomb e a Lei de Gauss, além de integrar contribuições de pequenas partes da distribuição de carga para calcular o campo total.

Passo 2

Parte A: Campo Elétrico de um Anel Carregado de Raio
Primeiro, vamos focar no anel carregado. Imagina um anel com carga distribuída uniformemente. Queremos achar o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo do anel.

Passo 3

Para isso, vamos considerar um pequeno elemento de carga no anel. A contribuição desse elemento para o campo elétrico no ponto de interesse pode ser calculada usando a Lei de Coulomb:
onde é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde queremos o campo.

Passo 4

Devido à simetria do anel, as componentes horizontais dos campos elétricos de elementos opostos se cancelam, deixando apenas a componente vertical. Então, podemos integrar apenas essa componente para encontrar o campo total.

Passo 5

Após integrar sobre todo o anel, chegamos à expressão do campo elétrico no eixo:
onde é a carga total do anel e é a distância ao longo do eixo.

Passo 6

Parte B: Campo Elétrico de uma Placa Infinita de Cargas
Agora, vamos para a placa infinita. A grande vantagem aqui é a simetria planar que simplifica muito os cálculos usando a Lei de Gauss.

Passo 7

Escolhemos uma superfície gaussiana na forma de um cilindro que atravessa a placa. A Lei de Gauss nos diz que:
onde é a carga dentro da superfície gaussiana.

Passo 8

Devido à simetria, o campo elétrico é perpendicular à placa e tem a mesma magnitude em ambos os lados. Assim, a integral simplifica para:
onde é a densidade de carga superficial.

Passo 9

Resolvendo para , temos o campo elétrico da placa infinita:
É importante notar que o campo é constante e não depende da distância da placa.

Passo 10

Parte C: Campo Elétrico de uma Casca Esférica de Raio
Por fim, vamos analisar a casca esférica. Aqui, usaremos novamente a Lei de Gauss, aproveitando a simetria esférica.

Passo 11

Para pontos fora da casca ( ), escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio . A Lei de Gauss nos dá:
onde é a carga total na casca.

Passo 12

Como o campo é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana, a integral se simplifica para:
Resolvendo para :
Esse é o campo externo, que se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro.

Passo 13

Para pontos dentro da casca ( ), usando a mesma superfície gaussiana, percebemos que não há carga dentro da superfície. Assim, pelo teorema de Gauss:
Ou seja, não há campo elétrico dentro de uma casca esférica carregada uniformemente.

Resposta

Foram encontrados os seguintes campos elétricos:
(A) Para um anel carregado de raio no eixo a uma distância :
(B) Para uma placa infinita de carga com densidade superficial :
© Para uma casca esférica de raio e carga total :

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O campo elétrico é definido em termos de , uma pequena carga positiva. Se, em vez disso, a definição for em termos de uma pequena carga negativa de mesma intensidade, então, comparado com o campo original, o novo campo elétrico definido
(A) apontará no mesmo sentido e terá a mesma intensidade.
(B) apontará no sentido oposto, mas terá a mesma intensidade.
© apontará no mesmo sentido, mas terá uma diferente intensidade.
(D) apontará no sentido oposto e terá uma diferente intensidade.
Explique brevemente o motivo.
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No começo da Aula 2 nós definimos, pela lei de Coulomb, a força devido a uma distribuição contínua de cargas positivas em um bastão de comprimento . Defina agora, seguindo os mesmos princípios, a força devido a um anel e a um disco de cargas (esses desenvolvimentos são feitos no Capítulo 25 do nosso livro texto, páginas 12 e 13 , mas quero que vocês façam todos os passos detalhadamente como foi feito em sala para o bastão de cargas positivas. É possível usar o livro como um guia, disponibilizarei as páginas).