Para um movimento de força central onde , mostre que o vetor
é constante de movimento, onde e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um movimento sob uma força central dada por , onde é o vetor posição, é a magnitude de , e é uma constante. A tarefa é mostrar que o vetor é uma constante de movimento. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de mecânica clássica, como momento angular ( ) e momento linear ( ).

Passo 2

Vamos começar lembrando que o momento linear é dado por , onde é a massa e é a velocidade. O momento angular é . Nosso objetivo é mostrar que não muda ao longo do tempo, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular a derivada temporal de :
Para isso, precisamos usar a regra do produto para derivadas de vetores.

Passo 4

Primeiro, calculamos . Sabemos que:
Como é uma força central, ela está na direção de , ou seja, . Portanto, , o que implica que .

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Como e , temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Aqui usamos a regra da derivada para vetores e a substituição .

Passo 7

Vamos agora juntar tudo:
Sabemos que , então:
Usando a identidade vetorial , temos:
Substituindo de volta:

Passo 8

Voltando à expressão de :
Como , substituímos:

Resposta

O vetor é uma constante de movimento, ou seja, .

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Resp:
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