Para um movimento de força central onde
, mostre que o vetor
é constante de movimento, onde
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um movimento sob uma força central dada por
, onde
é o vetor posição,
é a magnitude de
, e
é uma constante. A tarefa é mostrar que o vetor
é uma constante de movimento. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de mecânica clássica, como momento angular (
) e momento linear (
).
Passo 2
Vamos começar lembrando que o momento linear é dado por
, onde
é a massa e
é a velocidade. O momento angular é
. Nosso objetivo é mostrar que
não muda ao longo do tempo, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada temporal de
:
Para isso, precisamos usar a regra do produto para derivadas de vetores.
Passo 4
Primeiro, calculamos
. Sabemos que:
Como
é uma força central, ela está na direção de
, ou seja,
. Portanto,
, o que implica que
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Como
e
, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Aqui usamos a regra da derivada para vetores e a substituição
.
Passo 7
Vamos agora juntar tudo:
Sabemos que
, então:
Usando a identidade vetorial
, temos:
Substituindo de volta:
Passo 8
Voltando à expressão de
:
Como
, substituímos:
Resposta
O vetor
é uma constante de movimento, ou seja,
.