Para um movimento de força central onde F=k rr^3, mostre que o vetor
A=L times p-k m rr
é constante de movimento, onde p=m v e L=r times p.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um movimento sob uma força central dada por , onde é o vetor posição, é a magnitude de , e é uma constante. A tarefa é mostrar que o vetor é uma constante de movimento. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de mecânica clássica, como momento angular ( ) e momento linear ( ).

Passo 2

Vamos começar lembrando que o momento linear é dado por , onde é a massa e é a velocidade. O momento angular é . Nosso objetivo é mostrar que não muda ao longo do tempo, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular a derivada temporal de dAdt = ddt (L times p) - ddt (k m rr) :
Para isso, precisamos usar a regra do produto para derivadas de vetores.

Passo 4

Primeiro, calculamos dLdt = r times dpdt = r times F . Sabemos que:
Como é uma força central, ela está na direção de , ou seja, . Portanto, , o que implica que .

Passo 5

Agora, vamos calcular ddt (L times p) = dLdt times p + L times dpdt :
ddt (L times p) = L times F
Como e , temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular ddt (k m rr) = k m ( vr - r (r cdot v)r^3 ) :
Aqui usamos a regra da derivada para vetores e a substituição .

Passo 7

Vamos agora juntar tudo:
dAdt = L times F - k m ( vr - r (r cdot v)r^3 )
Sabemos que L times F = (r times p) times k rr^3 = k (r times p) times rr^3 , então:
(r times p) times r = p (r cdot r) - r (r cdot p) = p r^2 p - r (r cdot p)
Usando a identidade vetorial L times F = k ( p r^2 p - r (r cdot p)r^3 ) = k ( pr - r (r cdot p)r^3 ) , temos:
Substituindo de volta:

Passo 8

Voltando à expressão de dAdt = k ( pr - r (r cdot p)r^3 ) - k m ( vr - r (r cdot v)r^3 ) :
dAdt = k m ( vr - r (r cdot v)r^3 ) - k m ( vr - r (r cdot v)r^3 ) = 0
Como , substituímos:

Resposta

O vetor é uma constante de movimento, ou seja, .

Exercícios relacionados