Um disco uniforme, de raio R e massa M, gira com velocidade angular omega0 em torno de um eixo horizontal que passa pelo seu centro, perpendicular à face do disco. a) Qual é a sua energia cinética? b) E o seu momento angular? c) Um fragmento de massa m destaca-se da borda do disco, sendo lançado tangencialmente a esta, na vertical e para cima. Qual é a altura máxima alcançada pelo fragmento acima do ponto em que se destacou? d) Quais são a velocidade angular, e) o momento angular, e f) a energia cinética finais do disco quebrado?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um disco uniforme com raio , massa e que está girando com uma velocidade angular inicial em torno de um eixo horizontal que passa pelo centro do disco. O que precisamos para resolver esse problema envolve conceitos de energia cinética rotacional, momento angular e conservação de momento angular quando um fragmento é lançado do disco. Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética do disco em rotação. A energia cinética rotacional é dada pela fórmula:
Ecinética = 12 I omega^2 é
Onde I = 12 M R^2 é o momento de inércia do disco e Ecinética = 12 ( 12 M R^2 ) omega0^2 = 14 M R^2 omega0^2 é a velocidade angular.
Para um disco uniforme girando em torno do seu eixo central, o momento de inércia é:
Substituindo na fórmula da energia:
é

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento angular do disco. A fórmula é:
L = I omega
J�� sabemos que L = 12 M R^2 omega0 e , então:

Passo 4

Quando um fragmento de massa v = R omega0 se destaca do disco e é lançado tangencialmente para cima, vamos considerar que ele tem uma velocidade tangencial 12 m v^2 = m g h no instante do lançamento, que é dada por:
h = v^22g = (R omega0)^22g = R^2 omega0^22g
A energia cinética do fragmento é convertida em energia potencial no ponto mais alto. Usando a conservação de energia:
Resolvendo para :

Passo 5

Quando o fragmento se destaca, o sistema (disco + fragmento) precisa conservar o momento angular. Inicialmente, o momento angular é:
Linicial = 12 M R^2 omega0
Após o fragmento se separar, o novo momento de inércia do disco é:
Ifinal = 12 M R^2
E o momento angular do sistema após a saída do fragmento é:
Lfinal = Ifinal omegafinal + m R^2 omegafinal
Igualando 12 M R^2 omega0 = ( 12 M R^2 + m R^2 ) omegafinal :
omegafinal = 12 M R^2 omega012 M R^2 + m R^2 = M omega0M + 2m
Resolvendo para :

Passo 6

Usando a velocidade angular final que encontramos:
Lfinal = ( 12 M R^2 + m R^2 ) omegafinal
Substituindo Lfinal = ( 12 M R^2 + m R^2 ) M omega0M + 2m :
Lfinal = ( 12 M + m ) R^2 M omega0M + 2m = ( 12 M + m ) M R^2 omega0M + 2m
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a energia cinética final do disco após o fragmento ter se destacado:
Ecinética final = 12 Ifinal omegafinal^2 é
Substituindo Ecinética final = 12 ( 12 M R^2 + m R^2 ) ( M omega0M + 2m )^2 e :
é

Resposta

a) A energia cinética do disco é .
b) O momento angular do disco é .
c) A altura máxima alcançada pelo fragmento é .
d) A velocidade angular final do disco é .
e) O momento angular final é .
f) A energia cinética final do disco é .

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