Um disco uniforme, de raio
e massa
, gira com velocidade angular
em torno de um eixo horizontal que passa pelo seu centro, perpendicular à face do disco. a) Qual é a sua energia cinética? b) E o seu momento angular? c) Um fragmento de massa
destaca-se da borda do disco, sendo lançado tangencialmente a esta, na vertical e para cima. Qual é a altura máxima alcançada pelo fragmento acima do ponto em que se destacou? d) Quais são a velocidade angular, e) o momento angular, e f) a energia cinética finais do disco quebrado?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um disco uniforme com raio
, massa
e que está girando com uma velocidade angular inicial
em torno de um eixo horizontal que passa pelo centro do disco. O que precisamos para resolver esse problema envolve conceitos de energia cinética rotacional, momento angular e conservação de momento angular quando um fragmento é lançado do disco. Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia cinética do disco em rotação. A energia cinética rotacional é dada pela fórmula:
Onde
é o momento de inércia do disco e
é a velocidade angular.
Para um disco uniforme girando em torno do seu eixo central, o momento de inércia é:
Substituindo na fórmula da energia:
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento angular do disco. A fórmula é:
J�� sabemos que
e
, então:
Passo 4
Quando um fragmento de massa
se destaca do disco e é lançado tangencialmente para cima, vamos considerar que ele tem uma velocidade tangencial
no instante do lançamento, que é dada por:
A energia cinética do fragmento é convertida em energia potencial no ponto mais alto. Usando a conservação de energia:
Resolvendo para
:
Passo 5
Quando o fragmento se destaca, o sistema (disco + fragmento) precisa conservar o momento angular. Inicialmente, o momento angular é:
Após o fragmento se separar, o novo momento de inércia do disco é:
E o momento angular do sistema após a saída do fragmento é:
Igualando
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Usando a velocidade angular final que encontramos:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a energia cinética final do disco após o fragmento ter se destacado:
Substituindo
e
:
Resposta
a) A energia cinética do disco é
.
b) O momento angular do disco é
.
c) A altura máxima alcançada pelo fragmento é
.
d) A velocidade angular final do disco é
.
e) O momento angular final é
.
f) A energia cinética final do disco é
.