Considere a mesma figura do problema anterior. Suponha que a haste tem L=1 m de comprimento e massa M=800 g. A massa do disco vale m=200 g e sua velocidade é 5 m / s. O disco colide com a haste a uma distância d=30 cm do seu centro de massa. a) Considerando uma colisão perfeitamente inelástica, calcule a velocidade linear do centro de massa e a velocidade angular do sistema. b) Considerando uma colisão elástica, calcule a velocidade final do disco, e as velocidades do centro de massa e angular da haste após a colisão.

Passo 1

Resumo do problema: Temos uma haste com comprimento L = 1 m e massa M = 800 g, e um disco com massa m = 200 g que está se movendo com velocidade v = 5 m/s. O disco colide com a haste a uma distância d = 30 cm do centro de massa da haste.
Conteúdo da matéria: Vamos utilizar conceitos de colisões (perfeitamente inelástica), conservação do momento linear e conservação do momento angular para resolver o problema.
O que vamos precisar: Converter unidades para o SI, aplicar as leis de conservação mencionadas e calcular a velocidade linear e angular após a colisão.

Passo 2

Conversão de unidades:
  • Massa da haste: M = 800 g = 0,8 kg
  • Massa do disco: m = 200 g = 0,2 kg
  • Distância: d = 30 cm = 0,3 m

Passo 3

Aplicando a conservação do momento linear:
Como a colisão é perfeitamente inelástica, o disco e a haste vão se mover juntos após a colisão com uma velocidade comum V.
A quantidade de movimento inicial é apenas do disco:
pinicial = m cdot v
A quantidade de movimento final é do sistema combinado (haste + disco):
pfinal = (M + m) cdot V
Pela conservação do momento linear:
m cdot v = (M + m) cdot V

Passo 4

Resolvendo para a velocidade linear V:
V = m cdot vM + m = 0,2 kg times 5 m/s0,8 kg + 0,2 kg = 11 = 1 m/s

Passo 5

Calculando a velocidade angular omega do sistema:
Após a colisão, além da velocidade linear, o sistema também terá uma velocidade angular devido ao impacto a uma distância d do centro de massa.
Primeiro, calculamos o momento de inércia I da haste em relação ao seu centro de massa:
I = 112 M L^2 = 112 times 0,8 kg times (1 m)^2 = 0,0667 kg·m^2
O momento angular inicial causado pelo disco é:
Linicial = m cdot v cdot d = 0,2 kg times 5 m/s times 0,3 m = 0,3 kg·m^2/s
Pela conservação do momento angular:
Linicial = I cdot omega
omega = LinicialI = 0,30,0667 approx 4,5 rad/s

Resposta

Após a colisão perfeitamente inelástica, a velocidade linear do centro de massa do sistema é 1 m/s e a velocidade angular é aproximadamente 4,5 rad/s.

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