Um disco uniformemente carregado de raio 30,0 cm possui uma carga com densidade de 8,0.10^-3 C / m^2. Calcule o campo elétrico no eixo do disco a) 5,0 cm, b) 10,0 cm, c) 50,0 cm e d) 200 cm do centro do disco.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco uniformemente carregado com raio de 30,0 cm e uma densidade de carga superficial de 8,0 times 10^-3 C/m^2. O objetivo é calcular o campo elétrico ao longo do eixo do disco em diferentes distâncias do centro: 5,0 cm, 10,0 cm, 50,0 cm e 200 cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula do campo elétrico no eixo de um disco carregado.

Passo 2

O campo elétrico no eixo de um disco uniformemente carregado pode ser calculado pela fórmula:
E(z) = sigma2 varepsilon0 (1 - zraizz^2 + R^2 )
Aqui,
  • sigma é a densidade de carga superficial,
  • varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo ( varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 C^2/(N cdot m^2)),
  • R é o raio do disco,
  • z é a distância ao longo do eixo a partir do centro do disco.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores fornecidos na fórmula. Primeiro, converteremos todas as distâncias para metros:
  • R = 30,0 cm = 0,30 m
  • a) z = 5,0 cm = 0,05 m
  • b) z = 10,0 cm = 0,10 m
  • c) z = 50,0 cm = 0,50 m
  • d) z = 200 cm = 2,00 m
A densidade de carga sigma = 8,0 times 10^-3 C/m^2.

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico para cada distância:
a) Para z = 0,05 m:
E(0,05) = 8,0 times 10^-32 times 8,85 times 10^-12 (1 - 0,05raiz0,05^2 + 0,30^2 )
b) Para z = 0,10 m:
E(0,10) = 8,0 times 10^-32 times 8,85 times 10^-12 (1 - 0,10raiz0,10^2 + 0,30^2 )
c) Para z = 0,50 m:
E(0,50) = 8,0 times 10^-32 times 8,85 times 10^-12 (1 - 0,50raiz0,50^2 + 0,30^2 )
d) Para z = 2,00 m:
E(2,00) = 8,0 times 10^-32 times 8,85 times 10^-12 (1 - 2,00raiz2,00^2 + 0,30^2 )

Passo 5

Agora, vamos calcular cada expressão:
a)
E(0,05) = 8,0 times 10^-31,77 times 10^-11 (1 - 0,05raiz0,0025 + 0,09 ) = 8,0 times 10^-31,77 times 10^-11 (1 - 0,050,3 ) = 8,0 times 10^-31,77 times 10^-11 times (1 - 0,1667) = 8,0 times 10^-31,77 times 10^-11 times 0,8333 approx 3,77 times 10^6 N/C
b)
E(0,10) = 8,0 times 10^-31,77 times 10^-11 (1 - 0,10raiz0,01 + 0,09 ) = 8,0 times 10^-31,77 times 10^-11 (1 - 0,100,3162 ) = 8,0 times 10^-31,77 times 10^-11 times (1 - 0,3162) approx 4,70 times 10^6 N/C
c)
E(0,50) = 8,0 times 10^-31,77 times 10^-11 (1 - 0,50raiz0,25 + 0,09 ) = 8,0 times 10^-31,77 times 10^-11 (1 - 0,500,5385 ) = 8,0 times 10^-31,77 times 10^-11 times (1 - 0,9286) approx 4,03 times 10^5 N/C
d)
E(2,00) = 8,0 times 10^-31,77 times 10^-11 (1 - 2,00raiz4,00 + 0,09 ) = 8,0 times 10^-31,77 times 10^-11 (1 - 2,002,0162 ) = 8,0 times 10^-31,77 times 10^-11 times (1 - 0,9923) approx 4,56 times 10^3 N/C

Resposta

a) E = 3,77 times 10^6 N/C
b) E = 4,70 times 10^6 N/C
c) E = 4,03 times 10^5 N/C
d) E = 4,56 times 10^3 N/C

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