Três cargas pontuais estão posicionadas em um círculo de raio r nos ângulos 30^circ(+q), 150^circ(+q) e 270^circ(- 2 q ). Determine uma expressão simbólica para o campo elétrico resultante no centro do círculo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três cargas puntiformes posicionadas em um círculo de raio nos ângulos de com carga , com carga e com carga . O objetivo é determinar uma expressão simbólica para o campo elétrico resultante no centro do círculo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico criado por cargas puntiformes e somar vetorialmente esses campos.

Passo 2

Vamos lembrar que o campo elétrico E = k qr^2 r criado por uma carga em um ponto a uma distância dela é dado por:
onde é a constante eletrostática, é a carga, é a distância da carga ao ponto onde estamos calculando o campo, e é o vetor unitário na direção do campo.

Passo 3

Como as cargas estão posicionadas em um círculo de raio E = k qr^2 e queremos o campo no centro, a distância de cada carga ao centro é justamente . Portanto, para cada carga, o campo elétrico terá magnitude:
E a direção dependerá do sinal da carga. Cargas positivas criam campos que saem delas, e cargas negativas criam campos que apontam para elas.

Passo 4

Vamos identificar as posições das cargas:
  • Carga 1: em
  • Carga 2: em
  • Carga 3: em
Vamos decompor cada campo elétrico em componentes e usando funções trigonométricas, já que os campos estão em diferentes direções.

Passo 5

Para decompor, usamos:
Ex = E cos(theta)
Ey = E sin(theta)
onde é o ângulo de cada carga em relação ao eixo .

Passo 6

Vamos calcular as componentes para cada carga:
  • Carga 1: E1x = k qr^2 cos(30^circ) em E1y = k qr^2 sin(30^circ)
    E2x = k qr^2 cos(150^circ)
    E2y = k qr^2 sin(150^circ)
  • Carga 2: E3x = k -2qr^2 cos(270^circ) em E3y = k -2qr^2 sin(270^circ)
  • Carga 3: em

Passo 7

Substituindo os valores de e dos ângulos:

Passo 8

Agora, substituímos esses valores nas componentes:
  • Carga 1:
    E1x = k qr^2 cdot raiz32
    E1y = k qr^2 cdot 12
  • Carga 2:
    E2x = k qr^2 cdot (-raiz32)
    E2y = k qr^2 cdot 12
  • Carga 3:
    E3x = k -2qr^2 cdot 0 = 0
    E3y = k -2qr^2 cdot (-1) = k 2qr^2

Passo 9

Agora, somamos todas as componentes Ex = E1x + E2x + E3x = k qr^2 cdot raiz32 + k qr^2 cdot (-raiz32) + 0 = 0 e Ey = E1y + E2y + E3y = k qr^2 cdot 12 + k qr^2 cdot 12 + k 2qr^2 = k qr^2 (12 + 12 + 2) = k qr^2 cdot 3 = 3k qr^2 :
  • Componente :
  • Componente :

Resposta

O campo elétrico resultante no centro do círculo é dado por:
E = 0,i + 3k qr^2,j

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