Discretize as seguintes funções contínuas, utilizando a discretização por segurador ordem-zero, dando a função equivalente digital em Z, para T= 0,1 segundos: H(s)=s(s+3)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente discretizar a função contínua usando o método de segurador de ordem-zero com um período de amostragem segundos. Isso significa que vamos converter essa função do domínio contínuo (s) para o domínio digital (z), que é usado em sistemas digitais. Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformadas de Laplace e transformadas Z.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é discretização por segurador de ordem-zero (ZOH). Esse método assume que a entrada do sistema é mantida constante durante cada intervalo de amostragem . Basicamente, a cada segundos, o valor da função é “segurado” e mantido até a próxima amostragem. Isso nos ajuda a passar do tempo contínuo para o tempo discreto de forma simples.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a função de transferência no domínio do tempo contínuo, H(s) = s(s+3)^2 , que é a inversa da transformada de Laplace de h(t) = L^-1 s(s+3)^2 . Vamos calcular isso:
s(s+3)^2 = (s+3) - 3(s+3)^2 = 1s+3 - 3(s+3)^2
Para encontrar h(t) = e^-3t - 3te^-3t , fazemos a transformada inversa de Laplace:
Podemos simplificar a fração antes de aplicar a transformada inversa:
Agora, aplicando a transformada inversa de Laplace:

Passo 4

Com h(kT) = e^-3 cdot 0,1k - 3 cdot 0,1k cdot e^-3 cdot 0,1k em mãos, vamos amostrar essa função a cada h(kT) = e^-0,3k - 0,3k cdot e^-0,3k segundos. Isso significa calcular para :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos construir a transformada Z dessa sequência amostrada. A transformada Z é definida como:
H(z) = sumk=0^infty h(kT) z^-k
Substituindo H(z) = sumk=0^infty ( e^-0,3k - 0,3k cdot e^-0,3k ) z^-k :
Esse somatório pode ser resolvido utilizando propriedades das séries geométricas e suas derivadas, resultando em uma função racional em .

Resposta

Após realizar os cálculos, a função equivalente digital em Z para H(z) = 0,09 z(z - e^-0,3)(z - e^-0,3) com H(z) = 0,09 z(z - e^-0,3)^2 segundos pelo método de segurador de ordem-zero é:
Ou simplificando:

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