Discuta em função de
a posição relativa entre as retas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar, dependendo de
ser um número real, como duas retas se posicionam uma em relação à outra. As retas são dadas por:
Vou precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas paralelas, coincidentes ou que se interceptam. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar as duas equações de retas na forma
para identificar os coeficientes angulares (
) de cada reta. Isso vai ajudar a gente a ver se elas têm a mesma inclinação (são paralelas) ou não.
Passo 3
Vamos começar com a reta
:
Vou isolar o
:
Então, o coeficiente angular de
é
.
Passo 4
Agora, vamos para a reta
:
Isolando o
:
O coeficiente angular de
é
.
Passo 5
Agora que temos os coeficientes angulares, vamos comparar:
- Se
, as retas são paralelas ou coincidentes. - Se
, elas se interceptam em um ponto.
Vamos ver quando
:
Então, quando
, as retas têm a mesma inclinação.
Passo 6
Para
, vamos verificar se as retas são coincidentes ou apenas paralelas.
Substituindo nas equações originais:
Substituindo
Para
:
Para
:
Multiplicando a equação de
por 3:
Comparando com a equação de
:
Como
, as retas são paralelas e distintas.
Passo 7
Agora, para os demais valores de
(exceto
e
), as retas terão coeficientes angulares diferentes, ou seja,
, o que significa que elas se interceptam em exatamente um ponto.
Porém, se
, a equação da reta
fica:
Isso não faz sentido, ou seja, para
, a reta
não existe.
Resposta
Para todo
com
e
, as retas
e
se interceptam em um único ponto. Quando
, as retas são paralelas e distintas. Para
, a reta
não existe.
Exercícios relacionados
Determine as equações paramétricas e simétricas, caso exista, da reta
que: passa pelo ponto
e é paralela ao vetor
;
Mostre que as retas
e
formam um quadrado, onde:
.
b) Encontre uma equação da reta
simétrica da reta
, em relação ao plano do item a(iii).
Dado o plano
e a reta AB , sendo
e
, determine uma equação do plano
que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano
e é paralelo ao plano
.