Discuta em função de a posição relativa entre as retas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar, dependendo de ser um número real, como duas retas se posicionam uma em relação à outra. As retas são dadas por:
Vou precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas paralelas, coincidentes ou que se interceptam. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar as duas equações de retas na forma para identificar os coeficientes angulares ( ) de cada reta. Isso vai ajudar a gente a ver se elas têm a mesma inclinação (são paralelas) ou não.

Passo 3

Vamos começar com a reta :
Vou isolar o :
Então, o coeficiente angular de é .

Passo 4

Agora, vamos para a reta :
Isolando o :
O coeficiente angular de é .

Passo 5

Agora que temos os coeficientes angulares, vamos comparar:
  • Se , as retas são paralelas ou coincidentes.
  • Se , elas se interceptam em um ponto.
Vamos ver quando :
Então, quando , as retas têm a mesma inclinação.

Passo 6

Para , vamos verificar se as retas são coincidentes ou apenas paralelas.
Substituindo nas equações originais:
Para :
Para :
Multiplicando a equação de por 3:
Comparando com a equação de :
Como , as retas são paralelas e distintas.

Passo 7

Agora, para os demais valores de (exceto e ), as retas terão coeficientes angulares diferentes, ou seja, , o que significa que elas se interceptam em exatamente um ponto.
Porém, se , a equação da reta fica:
Isso não faz sentido, ou seja, para , a reta não existe.

Resposta

Para todo com e , as retas e se interceptam em um único ponto. Quando , as retas são paralelas e distintas. Para , a reta não existe.

Exercícios relacionados

Determine as equações paramétricas e simétricas, caso exista, da reta que: passa pelo ponto e é paralela ao vetor ;
Mostre que as retas e formam um quadrado, onde:
.
b) Encontre uma equação da reta simétrica da reta , em relação ao plano do item a(iii).
Dado o plano e a reta AB , sendo e , determine uma equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano e é paralelo ao plano .