Discuta em função de m in R a posição relativa entre as retas:
r: 4 m x-m y=3, s: 12 x-3 m y=m

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar, dependendo de r: 4m x - m y = 3, s: 12 x - 3m y = m ser um número real, como duas retas se posicionam uma em relação à outra. As retas são dadas por:
Vou precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas paralelas, coincidentes ou que se interceptam. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar as duas equações de retas na forma para identificar os coeficientes angulares ( ) de cada reta. Isso vai ajudar a gente a ver se elas têm a mesma inclinação (são paralelas) ou não.

Passo 3

Vamos começar com a reta 4m x - m y = 3 :
-m y = -4m x + 3 y = 4mm x - 3m y = 4x - 3m
Vou isolar o :
Então, o coeficiente angular de é .

Passo 4

Agora, vamos para a reta 12 x - 3m y = m :
-3m y = -12 x + m y = 123m x - m3m y = 4m x - 13
Isolando o :
O coeficiente angular de é .

Passo 5

Agora que temos os coeficientes angulares, vamos comparar:
  • Se 4 = 4m 4m = 4 m = 1 , as retas são paralelas ou coincidentes.
  • Se , elas se interceptam em um ponto.
Vamos ver quando :
Então, quando , as retas têm a mesma inclinação.

Passo 6

Para 4(1)x - 1 y = 3 4x - y = 3 , vamos verificar se as retas são coincidentes ou apenas paralelas.
Substituindo 12x - 3(1)y = 1 12x - 3y = 1 nas equações originais:
Para 12x - 3y = 9 :
12x - 3y = 1
Para :
Multiplicando a equação de por 3:
Comparando com a equação de :
Como , as retas são paralelas e distintas.

Passo 7

Agora, para os demais valores de 4(0)x - 0 y = 3 0 = 3 (exceto e ), as retas terão coeficientes angulares diferentes, ou seja, , o que significa que elas se interceptam em exatamente um ponto.
Porém, se , a equação da reta fica:
Isso não faz sentido, ou seja, para , a reta não existe.

Resposta

Para todo com e , as retas e se interceptam em um único ponto. Quando , as retas são paralelas e distintas. Para , a reta não existe.

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